Merhaba sevgili öğrenciler!
Bugün sizlerle logaritma denklemlerini nasıl çözeceğimizi adım adım inceleyeceğiz. Logaritma, üslü sayıların tersi bir işlemdir ve bu ilişkiyi anladığımızda denklemleri çözmek çok kolaylaşır.
Sorumuz: $\log_2(x-1) = 3$ denklemini sağlayan $x$ değeri nedir?
- Adım 1: Logaritmanın Tanımını Hatırlayalım
- Logaritma, bir sayının hangi üsse yükseltildiğinde başka bir sayıyı verdiğini bulma işlemidir. Genel olarak, $\log_b(a) = c$ ifadesi, $b^c = a$ anlamına gelir. Burada $b$ taban, $a$ logaritması alınan sayı (argüman) ve $c$ ise logaritmanın değeridir.
- Bizim denklemimizde:
- Taban ($b$) $= 2$
- Logaritması alınan sayı (argüman) ($a$) $= (x-1)$
- Logaritmanın değeri ($c$) $= 3$
- Adım 2: Logaritmik Denklemi Üstel Denkleme Çevirelim
- Logaritmanın tanımını kullanarak, $\log_2(x-1) = 3$ denklemini üslü ifadeye dönüştürelim.
- Bu durumda, $2^3 = x-1$ olur.
- Adım 3: Üslü İfadeyi Hesaplayalım
- Şimdi $2^3$ değerini hesaplayalım. $2^3$ demek, $2$ sayısını kendisiyle $3$ kez çarpmak demektir:
- $2 \times 2 \times 2 = 8$
- Yani, denklemimiz $8 = x-1$ haline geldi.
- Adım 4: $x$ Değerini Bulmak İçin Denklemi Çözelim
- $8 = x-1$ denklemini çözmek için, $-1$ sayısını eşitliğin diğer tarafına $+1$ olarak geçirelim:
- $8 + 1 = x$
- $9 = x$
- Yani, $x = 9$ olarak bulunur.
- Adım 5: Logaritmanın Tanım Kümesini Kontrol Edelim (Önemli!)
- Logaritma fonksiyonunun tanımlı olabilmesi için, logaritması alınan sayının (argümanın) sıfırdan büyük olması gerekir. Yani, $x-1 > 0$ olmalıdır.
- Bulduğumuz $x=9$ değerini bu eşitsizlikte yerine koyalım: $9-1 > 0 \Rightarrow 8 > 0$.
- Bu koşul sağlandığı için, $x=9$ değeri geçerli bir çözümdür.
Bu adımları takip ederek, $\log_2(x-1) = 3$ denklemini sağlayan $x$ değerinin $9$ olduğunu bulduk.
Cevap C seçeneğidir.
