Bir bağıntının simetrik olması için aşağıdaki koşullardan hangisi sağlanmalıdır?
A) Tüm elemanlar kendisiyle ilişkili olmalı
B) İlişki tek yönlü olmalı
C) Her (a,b) çifti için (b,a) da bağıntıda olmalı
D) En az bir eleman olmalı
Bir bağıntının simetrik olması ne anlama gelir, bunu adım adım inceleyelim:
- Öncelikle, bir bağıntı, iki küme arasındaki elemanların belirli bir kurala göre eşleşmesidir. Genellikle sıralı ikililer kümesi olarak ifade edilir, örneğin $(a,b)$ gibi. Burada $a$ ve $b$ elemanları arasında bir ilişki olduğunu gösteririz.
- Şimdi simetrik bağıntı kavramına odaklanalım. Bir bağıntının simetrik olması demek, eğer bir eleman diğer bir elemanla belirli bir ilişki içindeyse, o zaman ikinci elemanın da birinci elemanla aynı ilişki içinde olması demektir.
- Daha açık bir ifadeyle, eğer bağıntı içinde $(a,b)$ şeklinde bir sıralı ikili varsa, yani $a$ elemanı $b$ elemanıyla ilişkiliyse, o zaman mutlaka $(b,a)$ şeklinde bir sıralı ikili de bağıntının içinde olmalıdır. Yani $b$ elemanı da $a$ elemanıyla ilişkili olmalıdır. Bu durum, bağıntının "iki yönlü" veya "karşılıklı" olduğunu gösterir. Örneğin, "arkadaşlık" ilişkisi genellikle simetriktir: Eğer Ayşe, Can'ın arkadaşıysa, Can da Ayşe'nin arkadaşıdır.
- Şimdi seçenekleri inceleyelim:
- A) Tüm elemanlar kendisiyle ilişkili olmalı: Bu durum, bağıntının yansımalı (refleksif) olması koşuludur. Yani her $a$ elemanı için $(a,a)$ bağıntıda olmalıdır. Bu, simetrik olma koşulundan farklıdır. Örneğin, "eşitlik" bağıntısı yansımalıdır ($a=a$).
- B) İlişki tek yönlü olmalı: Bu durum, bağıntının ters simetrik (antisimetrik) olması koşuluna daha yakındır. Ters simetrik bağıntıda, eğer $(a,b)$ bağıntıda ise ve $a \neq b$ ise, o zaman $(b,a)$ bağıntıda olamaz. Eğer $(a,b)$ ve $(b,a)$ ikisi de bağıntıdaysa, bu ancak $a=b$ olduğunda mümkündür. Bu da simetrik olmanın tam tersidir.
- C) Her (a,b) çifti için (b,a) da bağıntıda olmalı: İşte bu, simetrik bağıntının tam tanımıdır. Eğer $a$ ile $b$ arasında bir ilişki varsa, $b$ ile $a$ arasında da aynı ilişki olmalıdır.
- D) En az bir eleman olmalı: Bu koşul, bir bağıntının var olması için gereken çok temel bir şarttır ve simetrik olma gibi özel bir özelliğini tanımlamaz. Boş küme dışındaki her bağıntı bu koşulu sağlar.
Yukarıdaki açıklamalardan da anlaşıldığı gibi, bir bağıntının simetrik olması için her $(a,b)$ çifti için $(b,a)$ çiftinin de bağıntıda bulunması gerekir.
Cevap C seçeneğidir.
