(x - 3)(x² + 3x + 9) çarpımı sonucu nedir?
Merhaba sevgili öğrenciler!
Bu soruda, iki cebirsel ifadenin çarpımını bulmamız isteniyor: $(x - 3)(x^2 + 3x + 9)$. Bu tür çarpımlar, matematikte "özdeşlikler" olarak bilinen özel formüllerle daha hızlı ve kolay çözülebilir. Gelin, adım adım bu çarpımı nasıl yapacağımızı inceleyelim.
Verilen ifadeye dikkatlice baktığımızda, bir binom ($a-b$ şeklinde) ile bir trinomial ($a^2 + ab + b^2$ şeklinde) çarpımını görüyoruz. Bu yapı, küpler farkı özdeşliğini akla getirmelidir.
Küpler farkı özdeşliği şöyledir:
$(a - b)(a^2 + ab + b^2) = a^3 - b^3$
Bu özdeşlik, iki terimin farkı ile birinci terimin karesi, iki terimin çarpımı ve ikinci terimin karesinin toplamının çarpımının, birinci terimin küpü eksi ikinci terimin küpüne eşit olduğunu söyler.
Şimdi verilen ifadeyi özdeşlikle eşleştirelim:
Kontrol edelim:
Özdeşliği uygulayarak çarpımın sonucunu bulalım:
$(x - 3)(x^2 + 3x + 9) = x^3 - 3^3$
Şimdi $3^3$ değerini hesaplayalım:
$3^3 = 3 \times 3 \times 3 = 9 \times 3 = 27$
Böylece çarpımın sonucu:
$x^3 - 27$
Eğer özdeşliği hatırlamazsanız, her terimi tek tek çarparak da aynı sonuca ulaşabilirsiniz:
$(x - 3)(x^2 + 3x + 9) = x(x^2 + 3x + 9) - 3(x^2 + 3x + 9)$
$= (x \cdot x^2) + (x \cdot 3x) + (x \cdot 9) - (3 \cdot x^2) - (3 \cdot 3x) - (3 \cdot 9)$
$= x^3 + 3x^2 + 9x - 3x^2 - 9x - 27$
Benzer terimleri birleştirelim:
$= x^3 + (3x^2 - 3x^2) + (9x - 9x) - 27$
$= x^3 + 0 + 0 - 27$
$= x^3 - 27$
Gördüğünüz gibi, her iki yöntem de aynı doğru sonuca ulaşıyor. Ancak özdeşlikleri bilmek, işlemleri çok daha hızlı ve hatasız yapmanızı sağlar.
Bulduğumuz sonuç $x^3 - 27$, seçeneklerde A şıkkında yer almaktadır.
Cevap A seçeneğidir.
