\( \int (4x^3 - 2x + 1) dx \) belirsiz integralinin sonucu \( x^4 - x^2 + x + c \) şeklindedir. Bu integral sabiti (c) aşağıdaki durumların hangisinde belirli bir değer alır?
A) İntegral sınırları verildiğinde
B) Fonksiyonun bir noktadaki değeri bilindiğinde
C) Türev alındığında
D) İntegral tekrar hesaplandığında
Belirsiz integral, bir fonksiyonun türevi bilindiğinde o fonksiyonu bulma işlemidir. Ancak, bir sabitin türevi her zaman sıfır olduğu için, integral alma işlemi sırasında kaybolan bu sabiti temsil etmek üzere bir integral sabiti ($c$) eklenir. Bu $c$ sabiti, belirli bir bilgi verilmedikçe herhangi bir gerçek sayı olabilir ve bu yüzden belirsiz integralin sonucu bir fonksiyon ailesini temsil eder.
Şimdi seçenekleri adım adım inceleyelim:
- A) İntegral sınırları verildiğinde: Bu durum, belirli integral olarak adlandırılır. Belirli integrallerde, integralin üst ve alt sınırları kullanılarak bir sayısal değer elde edilir. Bu süreçte, integral sabiti ($c$) birbirini götürür ve sonuçta bir sayısal değer kalır. Yani, $ \int_a^b f(x) dx = [F(x) + c]_a^b = (F(b) + c) - (F(a) + c) = F(b) - F(a) $. Burada $c$ belirli bir değer almaz, aksine ortadan kalkar ve nihai sonuçta yer almaz.
- B) Fonksiyonun bir noktadaki değeri bilindiğinde: İşte bu durumda integral sabiti ($c$) belirli bir değer alır. Eğer integral sonucunda elde ettiğimiz fonksiyonun ($F(x) = x^4 - x^2 + x + c$) belirli bir $x$ değeri için hangi $y$ değerini aldığını biliyorsak, bu bilgiyi fonksiyonda yerine koyarak $c$ değerini bulabiliriz. Örneğin, eğer $F(1) = 5$ olduğu bilgisi verilseydi, $ 5 = (1)^4 - (1)^2 + (1) + c $ denklemini çözerek $c$'yi bulabilirdik: $ 5 = 1 - 1 + 1 + c \Rightarrow 5 = 1 + c \Rightarrow c = 4 $. Bu durumda, fonksiyon $F(x) = x^4 - x^2 + x + 4$ olur ve $c$ belirli bir sayısal değer almış olur. Bu bilgi, integral ailesinden belirli bir fonksiyonu seçmemizi sağlar.
- C) Türev alındığında: Bir fonksiyonun türevini aldığımızda, integral sabiti ($c$) kaybolur çünkü bir sabitin türevi sıfırdır. Yani, $ \frac{d}{dx}(x^4 - x^2 + x + c) = 4x^3 - 2x + 1 $. Bu işlem $c$'nin değerini belirlememize yardımcı olmaz.
- D) İntegral tekrar hesaplandığında: İntegrali tekrar hesaplamak, aynı belirsiz integral sonucunu, yani $ x^4 - x^2 + x + c $ ifadesini verecektir. Bu işlem de $c$'nin belirli bir değer almasını sağlamaz; $c$ yine belirsiz bir sabit olarak kalır.
Bu nedenle, integral sabiti ($c$) ancak fonksiyonun geçtiği belirli bir nokta bilindiğinde, yani fonksiyonun bir noktadaki değeri verildiğinde belirli bir değer alır.
Cevap B seçeneğidir.
