İntegral sabiti (c) nedir Test 2

Bir fonksiyonun türevi \( f'(x) = \cos x \) olarak veriliyor. \( f(\pi) = 3 \) olduğuna göre, bu fonksiyonun integral sabiti (c) kaçtır?

A) 2
B) 3
C) 4
D) 5

Harika bir problem! Bir fonksiyonun türevini biliyorsak, o fonksiyonun kendisini nasıl bulacağımızı ve verilen bir noktayı kullanarak integral sabitini nasıl belirleyeceğimizi adım adım görelim.

• 1. Adım: Türevi Verilen Fonksiyonu Bulmak

Bize $f'(x) = \cos x$ olarak verilmiş. Bir fonksiyonun türevini biliyorsak, o fonksiyonun kendisini bulmak için türevin integralini almamız gerekir. İntegral alma işlemi, türev almanın tersidir.

Yani, $f(x)$'i bulmak için $f'(x)$'in integralini alacağız:

$f(x) = \int f'(x) \, dx = \int \cos x \, dx$

Kosinüs fonksiyonunun integrali sinüs fonksiyonudur. İntegral alırken her zaman bir integral sabiti ($c$) eklemeyi unutmayın, çünkü sabit bir sayının türevi sıfırdır ve bu sabiti integral alarak geri getirmemiz gerekir.

$f(x) = \sin x + c$

• 2. Adım: İntegral Sabiti ($c$) Değerini Bulmak

Şimdi elimizde $f(x) = \sin x + c$ fonksiyonu var. Ancak $c$ değerini henüz bilmiyoruz. Soruda bize $f(\pi) = 3$ bilgisi verilmiş. Bu bilgiyi kullanarak $c$ değerini bulabiliriz.

Fonksiyonumuzda $x$ yerine $\pi$ yazıp sonucu 3'e eşitleyelim:

$f(\pi) = \sin(\pi) + c = 3$

• 3. Adım: $\sin(\pi)$ Değerini Hesaplamak

Trigonometrik bir değer olan $\sin(\pi)$'nin ne olduğunu hatırlayalım. Birim çember üzerinde $\pi$ radyan (yani 180 derece) açısının sinüs değeri 0'dır.

Yani, $\sin(\pi) = 0$.

• 4. Adım: $c$ Değerini Belirlemek

Şimdi bu değeri denklemimize yerleştirelim:

$0 + c = 3$

Buradan integral sabiti $c$ değerini kolayca buluruz:

$c = 3$

Böylece, integral sabitinin 3 olduğunu bulmuş olduk.

Cevap B seçeneğidir.