Aralarında asal sayıların EKOKu kaçtır Test 2

a ve b aralarında asal sayılardır. EKOK(a, b) = 143 olduğuna göre a + b'nin alabileceği en büyük değer kaçtır?

A) 24
B) 144
C) 32
D) 48

Sevgili öğrenciler, bu soruyu adım adım çözerek konuyu daha iyi anlayalım. Soruda $a$ ve $b$ sayılarının aralarında asal olduğu ve EKOK'larının 143 olduğu bilgisi verilmiş. Bizden $a + b$'nin alabileceği en büyük değeri bulmamız isteniyor.

• 1. Adım: Aralarında Asal Olma Ne Demektir?

  $a$ ve $b$ sayılarının aralarında asal olması, bu iki sayının 1'den başka ortak pozitif tam sayı böleni olmadığı anlamına gelir. Matematiksel olarak bunu $\text{EBOB}(a, b) = 1$ şeklinde ifade ederiz.

• 2. Adım: EBOB ve EKOK Arasındaki İlişkiyi Hatırlayalım.

  İki pozitif tam sayının çarpımı, bu sayıların EBOB'u ile EKOK'unun çarpımına eşittir. Bu çok önemli bir kuraldır: $a \times b = \text{EBOB}(a, b) \times \text{EKOK}(a, b)$.

• 3. Adım: Verilen Bilgileri Kuralda Yerine Koyalım.

  Soruda bize $\text{EKOK}(a, b) = 143$ verilmişti. Ayrıca $a$ ve $b$ aralarında asal olduğu için $\text{EBOB}(a, b) = 1$ olduğunu biliyoruz. Şimdi bu değerleri kuralda yerine yazalım:

  $a \times b = 1 \times 143$

  $a \times b = 143$

  Demek ki $a$ ve $b$ sayılarının çarpımı 143 olmalı.

• 4. Adım: 143 Sayısının Çarpanlarını Bulalım.

  Şimdi çarpımları 143 olan tüm pozitif tam sayı çiftlerini bulmamız gerekiyor. Bunun için 143'ü asal çarpanlarına ayıralım:

  143 sayısı 2, 3, 5, 7 gibi küçük asal sayılara bölünmez. 11'e bölmeyi deneyelim:

  $143 \div 11 = 13$

  Hem 11 hem de 13 asal sayılardır. Yani 143'ün asal çarpanları 11 ve 13'tür.

  Buna göre, çarpımları 143 olan pozitif tam sayı çiftleri şunlardır:

  • $(1, 143)$
  • $(11, 13)$
• 5. Adım: Çarpan Çiftlerinin Aralarında Asal Olup Olmadığını Kontrol Edelim.

  Bulduğumuz çiftlerin $a$ ve $b$ olabilmesi için aralarında asal olma şartını sağlamaları gerekir:

  • Çift 1: $(1, 143)$

    1 ile her sayı aralarında asaldır. Yani $\text{EBOB}(1, 143) = 1$. Bu çift geçerlidir.

  • Çift 2: $(11, 13)$

    11 ve 13 farklı asal sayılardır. Farklı asal sayılar her zaman aralarında asaldır. Yani $\text{EBOB}(11, 13) = 1$. Bu çift de geçerlidir.

• 6. Adım: Her Geçerli Çift İçin $a + b$ Değerini Hesaplayalım.

  Şimdi her iki geçerli çift için $a + b$ toplamını bulalım:

  • Çift 1 için ($a=1$, $b=143$ veya $a=143$, $b=1$):

    $a + b = 1 + 143 = 144$

  • Çift 2 için ($a=11$, $b=13$ veya $a=13$, $b=11$):

    $a + b = 11 + 13 = 24$

• 7. Adım: $a + b$'nin Alabileceği En Büyük Değeri Belirleyelim.

  Bulduğumuz $a + b$ değerleri 144 ve 24'tür. Bu değerler arasında en büyüğü 144'tür.

Cevap B seçeneğidir.