Özdeşlikler nelerdir Test 1

$a^3 - b^3 = 19$ ve $a - b = 1$ olduğuna göre, $ab$ kaçtır?

A) 4
B) 5
C) 6
D) 7

Bu soruyu çözmek için, küpler farkı formülünü ve tam kare ifadelerin açılımlarını kullanacağız. Adım adım ilerleyelim:

• 1. Adım: Küpler Farkı Formülünü Hatırlayalım

• Matematikte çok sık kullandığımız önemli bir özdeşlik vardır: $a^3 - b^3$ ifadesinin açılımı.

  Bu formül şöyledir: $a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2)$.

• 2. Adım: Verilen Bilgileri Formülde Yerine Koyalım

• Soruda bize $a^3 - b^3 = 19$ ve $a - b = 1$ bilgileri verilmişti. Şimdi bu değerleri formülümüzde yerine yazalım:

  $19 = (1)(a^2 + ab + b^2)$

  Bu durumda, $a^2 + ab + b^2 = 19$ eşitliğini elde ederiz. Bu bizim için önemli bir denklem olacak.

• 3. Adım: $(a - b)^2$ İfadesinin Açılımını Kullanalım

• Yine bildiğimiz bir tam kare özdeşliği var: $(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$.

  Bize $a - b = 1$ verildiği için, bu ifadenin her iki tarafının karesini alabiliriz:

  $(a - b)^2 = 1^2$

  $a^2 - 2ab + b^2 = 1$. Bu da bizim ikinci önemli denklemimiz.

• 4. Adım: İki Denklemi Birleştirelim ve $ab$ Değerini Bulalım

• Şimdi elimizde iki denklem var:

  1) $a^2 + ab + b^2 = 19$

  2) $a^2 - 2ab + b^2 = 1$

  Amacımız $ab$ değerini bulmak. Bunun için birinci denklemden ikinci denklemi çıkarırsak, $a^2$ ve $b^2$ terimleri birbirini götürecektir:

  $(a^2 + ab + b^2) - (a^2 - 2ab + b^2) = 19 - 1$

  $a^2 + ab + b^2 - a^2 + 2ab - b^2 = 18$

  Gördüğünüz gibi, $a^2$ ve $b^2$ terimleri sadeleşti. Geriye sadece $ab$ terimleri kaldı:

  $ab + 2ab = 18$

  $3ab = 18$

• 5. Adım: $ab$ Değerini Hesaplayalım

• $3ab = 18$ eşitliğinde her iki tarafı $3$'e bölersek:

  $ab = \frac{18}{3}$

  $ab = 6$ sonucunu buluruz.

Cevap C seçeneğidir.