Merhaba sevgili öğrenciler! Bu soruda, bir fonksiyonun birebir (one-to-one) ve örten (onto) olma özelliklerini inceleyeceğiz. Bu kavramları hatırlayalım:
-
Birebir (One-to-one) Fonksiyon: Bir $f: A \rightarrow B$ fonksiyonu birebirdir, eğer tanım kümesindeki farklı elemanlar değer kümesinde farklı görüntülere sahipse. Yani, $f(x_1) = f(x_2)$ ise $x_1 = x_2$ olmalıdır. Grafiği yatay çizgi testiyle kontrol edilebilir: yatay bir çizgi grafiği en fazla bir noktada kesmelidir.
-
Örten (Onto) Fonksiyon: Bir $f: A \rightarrow B$ fonksiyonu örtendir, eğer değer kümesindeki (B) her eleman için tanım kümesinde (A) en az bir eleman varsa ki bu elemanın görüntüsü değer kümesindeki o elemana eşit olsun. Yani, $f(A) = B$ olmalıdır. Fonksiyonun görüntü kümesi, değer kümesine eşit olmalıdır.
Şimdi seçenekleri tek tek inceleyelim. Tüm fonksiyonların tanım kümesi ve değer kümesi $\mathbb{R}$ (gerçek sayılar kümesi) olarak verilmiştir, yani $f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$.
-
A) $f(x) = x^2$
-
Birebir mi? Hayır. Örneğin, $f(2) = 2^2 = 4$ ve $f(-2) = (-2)^2 = 4$tür. Farklı $x$ değerleri ($2$ ve $-2$) aynı $y$ değerini ($4$) vermiştir. Bu yüzden birebir değildir.
-
Örten mi? Hayır. $f(x) = x^2$ fonksiyonunun görüntü kümesi $[0, \infty)$ aralığıdır (yani negatif gerçek sayılar görüntü olamaz). Değer kümesi $\mathbb{R}$ olduğu için, görüntü kümesi değer kümesini kapsamaz. Örneğin, $-5$ değer kümesinde olmasına rağmen, hiçbir $x$ için $f(x) = -5$ olamaz. Bu yüzden örten değildir.
-
B) $f(x) = 2x + 3$
-
Birebir mi? Evet. $f(x_1) = f(x_2)$ olduğunu varsayalım. Bu durumda $2x_1 + 3 = 2x_2 + 3$ olur. Her iki taraftan $3$ çıkarırsak $2x_1 = 2x_2$ elde ederiz. Her iki tarafı $2$ye böldüğümüzde $x_1 = x_2$ sonucuna ulaşırız. Bu, fonksiyonun birebir olduğunu gösterir.
-
Örten mi? Evet. Değer kümesinden herhangi bir $y$ gerçek sayısı alalım. $f(x) = y$ olacak şekilde bir $x$ bulmaya çalışalım: $2x + 3 = y$. Bu denklemi $x$ için çözersek $2x = y - 3 \Rightarrow x = \frac{y - 3}{2}$ elde ederiz. Herhangi bir gerçek sayı $y$ için, $\frac{y - 3}{2}$ de bir gerçek sayı olacaktır. Bu, değer kümesindeki her $y$ için tanım kümesinde bir $x$ bulunduğunu ve $f(x) = y$ olduğunu gösterir. Bu yüzden örtendir.
-
C) $f(x) = \sin x$
-
Birebir mi? Hayır. Örneğin, $f(0) = \sin(0) = 0$ ve $f(\pi) = \sin(\pi) = 0$dır. Farklı $x$ değerleri ($0$ ve $\pi$) aynı $y$ değerini ($0$) vermiştir. Bu yüzden birebir değildir.
-
Örten mi? Hayır. $\sin x$ fonksiyonunun görüntü kümesi $[-1, 1]$ aralığıdır. Değer kümesi $\mathbb{R}$ olduğu için, görüntü kümesi değer kümesini kapsamaz. Örneğin, $2$ değer kümesinde olmasına rağmen, hiçbir $x$ için $f(x) = 2$ olamaz. Bu yüzden örten değildir.
-
D) $f(x) = |x|$
-
Birebir mi? Hayır. Örneğin, $f(2) = |2| = 2$ ve $f(-2) = |-2| = 2$dir. Farklı $x$ değerleri ($2$ ve $-2$) aynı $y$ değerini ($2$) vermiştir. Bu yüzden birebir değildir.
-
Örten mi? Hayır. $f(x) = |x|$ fonksiyonunun görüntü kümesi $[0, \infty)$ aralığıdır (yani negatif gerçek sayılar görüntü olamaz). Değer kümesi $\mathbb{R}$ olduğu için, görüntü kümesi değer kümesini kapsamaz. Örneğin, $-3$ değer kümesinde olmasına rağmen, hiçbir $x$ için $f(x) = -3$ olamaz. Bu yüzden örten değildir.
-
E) $f(x) = x^3$
-
Birebir mi? Evet. $f(x_1) = f(x_2)$ olduğunu varsayalım. Bu durumda $x_1^3 = x_2^3$ olur. Her iki tarafın küpkökünü aldığımızda $x_1 = x_2$ sonucuna ulaşırız (gerçek sayılar için). Bu, fonksiyonun birebir olduğunu gösterir.
-
Örten mi? Evet. Değer kümesinden herhangi bir $y$ gerçek sayısı alalım. $f(x) = y$ olacak şekilde bir $x$ bulmaya çalışalım: $x^3 = y$. Bu denklemi $x$ için çözersek $x = \sqrt[3]{y}$ elde ederiz. Herhangi bir gerçek sayı $y$ için, $\sqrt[3]{y}$ de bir gerçek sayı olacaktır. Bu, değer kümesindeki her $y$ için tanım kümesinde bir $x$ bulunduğunu ve $f(x) = y$ olduğunu gösterir. Bu yüzden örtendir.
Yukarıdaki analizlerimize göre, $f(x) = 2x + 3$ fonksiyonu hem birebir hem de örtendir. $f(x) = x^3$ fonksiyonu da aynı şekilde hem birebir hem de örtendir. Ancak soruda tek bir doğru cevap beklendiği için ve verilen doğru cevap B seçeneği olduğu için, B seçeneği bu sorunun cevabıdır.
Cevap B seçeneğidir.
