Geçişme özelliği olmayan bir bağıntı için ne söylenebilir?
A) Her zaman simetriktir
B) Zincirleme ilişki her zaman geçerli değildir
C) Yansıyan olmak zorundadır
D) Tersine çevrilebilir olmalıdır
Merhaba sevgili öğrencilerim,
Bu soruyu çözmek için öncelikle "geçişme özelliği" (transitivity) kavramını hatırlayalım ve ardından geçişme özelliği olmayan bir bağıntının ne anlama geldiğini adım adım inceleyelim.
- 1. Geçişme Özelliği (Transitivity) Nedir?
- Bir $A$ kümesi üzerinde tanımlı bir $R$ bağıntısının geçişme özelliğine sahip olması için, $A$ kümesinden alınan her $a, b, c$ elemanı için şu koşul sağlanmalıdır: Eğer $(a, b) \in R$ ve $(b, c) \in R$ ise, o zaman $(a, c) \in R$ olmalıdır. Yani, bir zincirleme ilişki varsa (örneğin $a$ ile $b$ ve $b$ ile $c$ ilişkiliyse), $a$ ile $c$ de doğrudan ilişkili olmalıdır.
- 2. Geçişme Özelliği Olmayan Bir Bağıntı Ne Demektir?
- Bir $R$ bağıntısının geçişme özelliğinin olmaması demek, yukarıdaki koşulun her zaman sağlanmaması demektir. Yani, en az bir $a, b, c$ eleman üçlüsü için $(a, b) \in R$ ve $(b, c) \in R$ olmasına rağmen, $(a, c) \notin R$ durumunun mevcut olmasıdır. Bu, "zincirleme ilişkinin" (yani $(a,b)$ ve $(b,c)$ varken $(a,c)$'nin de olması gerekliliğinin) her zaman geçerli olmadığı anlamına gelir.
- 3. Seçenekleri İnceleyelim:
- A) Her zaman simetriktir: Simetrik bir bağıntı, $(a, b) \in R$ olduğunda $(b, a) \in R$ olmasını gerektirir. Geçişme özelliği olmayan bir bağıntının simetrik olması zorunlu değildir. Örneğin, $A = \{1, 2, 3\}$ kümesi üzerinde $R = \{(1, 2), (2, 3)\}$ bağıntısını düşünelim. Bu bağıntı geçişme özelliğine sahip değildir çünkü $(1, 2) \in R$ ve $(2, 3) \in R$ iken $(1, 3) \notin R$. Ancak bu bağıntı simetrik de değildir çünkü $(1, 2) \in R$ iken $(2, 1) \notin R$. Dolayısıyla A seçeneği yanlıştır.
- B) Zincirleme ilişki her zaman geçerli değildir: "Zincirleme ilişki" ifadesi, geçişme özelliğinin tanımındaki "eğer $(a, b) \in R$ ve $(b, c) \in R$ ise, o zaman $(a, c) \in R$" koşulunu ifade eder. Bir bağıntının geçişme özelliğinin olmaması, tam da bu zincirleme ilişkinin her zaman geçerli olmadığı (yani en az bir durumda bozulduğu) anlamına gelir. Bu ifade, geçişme özelliği olmayan bir bağıntının tanımının doğrudan bir sonucudur.
- C) Yansıyan olmak zorundadır: Yansıyan bir bağıntı, $A$ kümesindeki her $a$ elemanı için $(a, a) \in R$ olmasını gerektirir. Geçişme özelliği olmayan bir bağıntının yansıyan olması zorunlu değildir. Yukarıdaki $R = \{(1, 2), (2, 3)\}$ örneği aynı zamanda yansıyan da değildir çünkü $(1, 1) \notin R$, $(2, 2) \notin R$ ve $(3, 3) \notin R$. Dolayısıyla C seçeneği yanlıştır.
- D) Tersine çevrilebilir olmalıdır: Bir bağıntının tersi ($R^{-1}$) her zaman tanımlanabilir. Bu, bağıntının tersine çevrilebilir olduğu anlamına gelmez (fonksiyonlardaki tersi alınabilirlik gibi özel bir durum değildir). Eğer bu ifade, bağıntının özel bir ters özelliği olması gerektiğini ima ediyorsa, bu durum geçişme özelliği olmamasıyla doğrudan ilgili değildir ve genel bir özellik değildir. Her bağıntının bir ters bağıntısı vardır, bu yüzden bu, geçişme özelliği olmayan bağıntılara özgü bir durum değildir. Dolayısıyla D seçeneği de yanlıştır.
Sonuç olarak, geçişme özelliği olmayan bir bağıntı, tanımı gereği, zincirleme ilişkinin (yani $(a, b)$ ve $(b, c)$ varken $(a, c)$'nin de olması gerekliliğinin) her zaman geçerli olmadığı bir bağıntıdır.
Cevap B seçeneğidir.
