Bu tür soruları çözerken, geometrik cisimlerin hacim formüllerini bilmek ve değişkenlerin nasıl etkilendiğini adım adım incelemek önemlidir. Şimdi kürenin hacminin yarıçapı ile nasıl değiştiğini birlikte bulalım:
- Kürenin Hacim Formülü: Bir kürenin hacmi $V$, yarıçapı $r$ olmak üzere, $V = \frac{4}{3}\pi r^3$ formülü ile hesaplanır. Bu formül, hacmin yarıçapın küpüyle orantılı olduğunu gösterir.
- Başlangıç Durumu: Kürenin başlangıçtaki yarıçapına $r_1$ diyelim. Bu durumda, başlangıçtaki hacmi $V_1 = \frac{4}{3}\pi r_1^3$ olacaktır.
- Yarıçapın Değişimi: Soruda belirtildiği gibi, kürenin yarıçapı 2 katına çıkarılıyor. Yani, yeni yarıçap $r_2 = 2r_1$ olur.
- Yeni Hacmin Hesaplanması: Şimdi yeni yarıçapı ($r_2$) hacim formülünde yerine koyarak yeni hacmi ($V_2$) bulalım:
$V_2 = \frac{4}{3}\pi (r_2)^3$
$V_2 = \frac{4}{3}\pi (2r_1)^3$
- İfadeyi Sadeleştirme: Parantez içindeki ifadeyi açalım. $(2r_1)^3 = 2^3 \cdot r_1^3 = 8r_1^3$.
Bu değeri formülde yerine yazarsak:
$V_2 = \frac{4}{3}\pi (8r_1^3)$
$V_2 = 8 \left(\frac{4}{3}\pi r_1^3\right)$
- Hacimlerin Karşılaştırılması: Dikkat ederseniz, parantez içindeki ifade başlangıçtaki hacim $V_1$'e eşittir ($V_1 = \frac{4}{3}\pi r_1^3$).
Bu durumda, $V_2 = 8 V_1$ sonucunu elde ederiz.
- Sonuç: Bu, kürenin yarıçapı 2 katına çıkarıldığında hacminin 8 katına çıktığı anlamına gelir. Hacim, yarıçapın küpüyle orantılı olduğu için, yarıçap kaç katına çıkarsa, hacim o sayının küpü kadar katına çıkar. (Örneğin, yarıçap 3 katına çıksaydı, hacim $3^3 = 27$ katına çıkardı.)
Cevap D seçeneğidir.
