x in kuvveti kesirli (rasyonel) olursa polinom olur mu

Question

Bir polinomda değişkenin üssünün doğal sayı olması gerekiyor. Kesirli üsslere sahip ifadeleri incelerken, örneğin x^(1/2) gibi bir terim gördüğümüzde bu artık bir polinom terimi olmuyor. Bu tür ifadeleri polinom olarak kabul edemiyoruz çünkü üsler tam sayı olmak zorunda.

Answer 1

Kesirli Üslü İfadeler ve Polinom Kavramı

Bir ifadenin polinom olarak nitelendirilebilmesi için, değişkenin (burada x) üssünün negatif olmayan bir tam sayı olması gerekir. Bu, polinomların temel tanımıdır.

Polinom Olma Koşulu

Genel bir polinom şu şekilde yazılır:

\( P(x) = a_nx^n + a_{n-1}x^{n-1} + ... + a_1x + a_0 \)

Buradaki n, n-1, ..., 1, 0 üslerinin her biri bir tam sayıdır ve 0 veya daha büyüktür.

Kesirli Üs Durumu

Eğer x'in üssü kesirli (rasyonel) bir sayı ise, örneğin:

• \( x^{1/2} \) (yani \( \sqrt{x} \))
• \( x^{3/4} \) (yani \( \sqrt[4]{x^3} \))
• \( x^{-1/2} \)

Bu tür ifadeler polinom değildir. Sebepleri şunlardır:

• Üsler tam sayı değildir: Polinom tanımına aykırıdır.
• Cebirsel yapı: Bu ifadeler, polinomlardan farklı bir cebirsel yapıya sahiptir (örneğin, köklü ifadeler).

Örneklerle Açıklama

Polinom Örnekleri:

• \( P(x) = 3x^4 - 2x^2 + 5 \) → Polinom (üsler: 4, 2, 0 tam sayı)
• \( P(x) = x^{100} + 1 \) → Polinom (üs: 100 tam sayı)

Polinom OLMAYAN Örnekler:

• \( f(x) = x^{1/2} + 3x \) → Polinom değil (üs: 1/2 kesirli)
• \( g(x) = 2x^{-2} + x \) → Polinom değil (üs: -2 negatif)
• \( h(x) = \sqrt{x} + 5 \) → Polinom değil (\( \sqrt{x} = x^{1/2} \))

Sonuç

Bir ifadede x değişkeninin üssü kesirli bir sayı ise, o ifade kesinlikle bir polinom değildir. Polinomlar, yalnızca tam sayı ve negatif olmayan üslere sahip terimlerden oluşur.