İki vektör arasındaki açı Test 1

İki vektör arasındaki açı hangi formülle hesaplanır?

A) cosθ = (a·b)/(|a||b|)
B) sinθ = (a·b)/(|a||b|)
C) tanθ = (a·b)/(|a||b|)
D) θ = |a||b|/(a·b)

Vektörler, hem yönü hem de büyüklüğü olan matematiksel nesnelerdir ve fizik, mühendislik, bilgisayar grafikleri gibi birçok alanda kullanılırlar. İki vektör arasındaki açıyı bulmak, bu vektörlerin birbirine göre konumunu ve ilişkisini anlamak için temel bir adımdır.

• İki vektör arasındaki açıyı bulmak için genellikle skaler çarpım (nokta çarpım) olarak bilinen bir işlemden faydalanırız. Skaler çarpım, iki vektörü çarptığımızda skaler (yani sadece bir büyüklük) bir sonuç veren bir işlemdir.
• $\mathbf{a}$ ve $\mathbf{b}$ gibi iki vektörün skaler çarpımı, hem bileşenleri cinsinden hem de büyüklükleri ve aralarındaki açı cinsinden ifade edilebilir.
• Skaler çarpımın geometrik tanımı şöyledir:

  $\mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = |\mathbf{a}||\mathbf{b}|\cos\theta$

  Burada:
  • $\mathbf{a} \cdot \mathbf{b}$ vektörlerin skaler çarpımını temsil eder.
  • $|\mathbf{a}|$ vektör $\mathbf{a}$'nın büyüklüğünü (uzunluğunu) temsil eder.
  • $|\mathbf{b}|$ vektör $\mathbf{b}$'nin büyüklüğünü (uzunluğunu) temsil eder.
  • $\theta$ (teta) ise $\mathbf{a}$ ve $\mathbf{b}$ vektörleri arasındaki açıdır.
• Amacımız $\theta$ açısını bulmak olduğuna göre, yukarıdaki formülü $\cos\theta$ için yeniden düzenleyebiliriz. Her iki tarafı $|\mathbf{a}||\mathbf{b}|$ ile bölersek:

  $\cos\theta = \frac{(\mathbf{a} \cdot \mathbf{b})}{|\mathbf{a}||\mathbf{b}|}$

• Bu formül, iki vektör arasındaki açının kosinüsünü verir. Açının kendisini bulmak için ise bu değerin arkkosinüsünü (ters kosinüsünü) almamız gerekir: $\theta = \arccos\left(\frac{(\mathbf{a} \cdot \mathbf{b})}{|\mathbf{a}||\mathbf{b}|}\right)$.
• Şimdi seçeneklere baktığımızda, A seçeneği tam olarak bu formülü vermektedir. Diğer seçenekler ise skaler çarpımı sinüs veya tanjant ile ilişkilendirerek ya da formülü yanlış bir şekilde düzenleyerek hatalı ifadeler sunmaktadır.

Cevap A seçeneğidir.