Sonsuz aralıklar ile işlemler Test 1

Bir araştırmacı, bir deney sırasında sıcaklık değişimini \( T(x) = \ln(x^2-4) \) fonksiyonu ile modellemiştir. Bu fonksiyonun tanımlı olduğu aralık aşağıdakilerden hangisidir?

A) (-∞,-2) ∪ (2,∞)
B) (-2,2)
C) [-2,2]
D) (-∞,∞)

Merhaba sevgili öğrenciler!

Bugün, bir araştırmacının sıcaklık değişimini modellemek için kullandığı $ T(x) = \ln(x^2-4) $ fonksiyonunun tanımlı olduğu aralığı bulacağız. Bir fonksiyonun tanımlı olduğu aralığı bulmak, o fonksiyonun hangi $x$ değerleri için geçerli sonuçlar üreteceğini anlamak demektir. Hadi adım adım inceleyelim:

• Adım 1: Fonksiyonun Türünü Anlayalım

  Verilen fonksiyon $ T(x) = \ln(x^2-4) $ bir doğal logaritma fonksiyonudur. Logaritma fonksiyonlarının en önemli kısıtlamalarından biri, logaritması alınan ifadenin her zaman pozitif olması gerektiğidir.

• Adım 2: Logaritma Fonksiyonunun Tanım Kümesi Kuralını Hatırlayalım

  Genel olarak, bir $ \ln(u) $ fonksiyonunun tanımlı olabilmesi için $u$ ifadesinin sıfırdan büyük olması gerekir. Yani, $ u > 0 $ olmalıdır. Eğer $u$ sıfır veya negatif olursa, logaritma tanımsız olur.

• Adım 3: Kuralı Fonksiyonumuza Uygulayalım

  Bizim fonksiyonumuzda logaritması alınan ifade $ x^2-4 $ şeklindedir. Bu durumda, tanım kümesi kuralına göre $ x^2-4 $ ifadesinin sıfırdan büyük olması gerekir:

  $ x^2-4 > 0 $

• Adım 4: Eşitsizliği Çözelim

  Şimdi $ x^2-4 > 0 $ eşitsizliğini çözmemiz gerekiyor. Bu bir ikinci dereceden eşitsizliktir. Eşitsizliği çözmek için önce ifadeyi çarpanlarına ayıralım:

  $ (x-2)(x+2) > 0 $

  Bu eşitsizliğin kökleri (yani ifadenin sıfır olduğu noktalar) $ x-2=0 \Rightarrow x=2 $ ve $ x+2=0 \Rightarrow x=-2 $ dir. Bu kökler, sayı doğrusunu üç aralığa ayırır: $ (-\infty, -2) $, $ (-2, 2) $ ve $ (2, \infty) $.

  Şimdi her bir aralıktan bir test değeri seçerek eşitsizliğin sağlanıp sağlanmadığını kontrol edelim:

  • Aralık 1: $ (-\infty, -2) $ (Örneğin $ x=-3 $ seçelim)

  $ (-3-2)(-3+2) = (-5)(-1) = 5 $

  $ 5 > 0 $ olduğu için bu aralık eşitsizliği sağlar.

  • Aralık 2: $ (-2, 2) $ (Örneğin $ x=0 $ seçelim)

  $ (0-2)(0+2) = (-2)(2) = -4 $

  $ -4 > 0 $ olmadığı için bu aralık eşitsizliği sağlamaz.

  • Aralık 3: $ (2, \infty) $ (Örneğin $ x=3 $ seçelim)

  $ (3-2)(3+2) = (1)(5) = 5 $

  $ 5 > 0 $ olduğu için bu aralık eşitsizliği sağlar.

• Adım 5: Tanım Kümesini Belirleyelim

  Eşitsizliği sağlayan aralıklar $ (-\infty, -2) $ ve $ (2, \infty) $ dir. Bu aralıkların birleşimi, fonksiyonun tanımlı olduğu aralığı verir.

  Tanım kümesi: $ (-\infty, -2) \cup (2, \infty) $

Bu sonuç, verilen seçeneklerden A seçeneği ile aynıdır.

Cevap A seçeneğidir.