Eşitsizlik sistemleri Test 1

Bir eşitsizlik sisteminin çözüm kümesi hangi durumda boş küme olur?

A) Tüm eşitsizlikler aynı yönde olduğunda
B) Eşitsizliklerin çözüm kümelerinin kesişimi boş olduğunda
C) Eşitsizlik sayısı tek olduğunda
D) Değişken sayısı 2'den fazla olduğunda

Bir eşitsizlik sisteminin çözüm kümesinin ne zaman boş küme olacağını anlamak için öncelikle bir eşitsizlik sisteminin ne anlama geldiğini ve çözüm kümesinin nasıl bulunduğunu hatırlayalım.

• Eşitsizlik Sistemi Nedir?

  Bir eşitsizlik sistemi, birden fazla eşitsizliğin bir araya gelerek oluşturduğu bir yapıdır. Bu sistemdeki tüm eşitsizliklerin aynı anda sağlanmasını bekleriz. Örneğin, $x > 3$ ve $x < 7$ bir eşitsizlik sistemidir.

• Eşitsizlik Sisteminin Çözüm Kümesi Nedir?

  Bir eşitsizlik sisteminin çözüm kümesi, sistemdeki tüm eşitsizlikleri aynı anda sağlayan tüm değerlerin (veya noktaların) kümesidir. Başka bir deyişle, her bir eşitsizliğin ayrı ayrı çözüm kümelerini buluruz ve bu çözüm kümelerinin kesişimini alırız. Bu kesişim, sistemin çözüm kümesidir.

• Çözüm Kümesinin Boş Küme Olması Ne Demektir?

  Eğer bir eşitsizlik sistemindeki eşitsizliklerin çözüm kümelerinin kesişimi boş küme ise, bu, sistemdeki tüm eşitsizlikleri aynı anda sağlayan hiçbir değerin (veya noktanın) olmadığı anlamına gelir. Bu durumda, eşitsizlik sisteminin çözüm kümesi boş kümedir.

  Örneğin, şu eşitsizlik sistemini ele alalım:

  • $x > 5$
  • $x < 2$

  Birinci eşitsizliğin çözüm kümesi $(5, \infty)$'dir. İkinci eşitsizliğin çözüm kümesi $(-\infty, 2)$'dir. Bu iki kümenin kesişimi $(5, \infty) \cap (-\infty, 2)$ boş kümedir. Çünkü 5'ten büyük ve aynı zamanda 2'den küçük bir sayı yoktur. Dolayısıyla, bu eşitsizlik sisteminin çözüm kümesi boş kümedir.

• Seçenekleri İnceleyelim:
  • A) Tüm eşitsizlikler aynı yönde olduğunda: Bu durum, çözüm kümesinin boş olmasını garanti etmez. Örneğin, $x > 2$ ve $x > 5$ eşitsizliklerinin çözüm kümesi $(5, \infty)$'dir ve boş küme değildir. Benzer şekilde, $x < 10$ ve $x < 7$ eşitsizliklerinin çözüm kümesi $(-\infty, 7)$'dir ve boş küme değildir.
  • B) Eşitsizliklerin çözüm kümelerinin kesişimi boş olduğunda: Yukarıdaki açıklamalarımızda da belirttiğimiz gibi, bir eşitsizlik sisteminin çözüm kümesi, sistemdeki tüm eşitsizliklerin ayrı ayrı çözüm kümelerinin kesişimidir. Eğer bu kesişim boş küme ise, sistemin çözüm kümesi de boş küme olur. Bu durum, çözüm kümesinin boş küme olmasının doğrudan tanımı ve nedenidir.
  • C) Eşitsizlik sayısı tek olduğunda: Eşitsizlik sayısı (tek veya çift olması) çözüm kümesinin boş olup olmadığını doğrudan belirlemez. Örneğin, tek bir eşitsizlik olan $x > 3$ sisteminin çözüm kümesi $(3, \infty)$'dir ve boş değildir. Üç eşitsizlikten oluşan $x > 1$, $x < 5$ ve $x > 0$ sisteminin çözüm kümesi $(1, 5)$'tir ve boş değildir. Ancak $x > 3$, $x < 2$ ve $x > 0$ sisteminin çözüm kümesi boştur. Yani eşitsizlik sayısı tek olsa da çözüm kümesi boş olmayabilir veya boş olabilir. Bu bir garanti değildir.
  • D) Değişken sayısı 2'den fazla olduğunda: Değişken sayısı (örneğin $x, y, z$ gibi) çözüm kümesinin boş olup olmadığını doğrudan belirlemez. Örneğin, $x > 0$, $y > 0$, $z > 0$ eşitsizlik sisteminin çözüm kümesi (birinci oktant) boş değildir. Öte yandan, tek değişkenli $x > 5$ ve $x < 2$ sisteminin çözüm kümesi boştur. Bu nedenle değişken sayısı bir kriter değildir.

Sonuç olarak, bir eşitsizlik sisteminin çözüm kümesinin boş küme olması, ancak ve ancak sistemdeki her bir eşitsizliğin ayrı ayrı çözüm kümelerinin birbiriyle çelişmesi ve dolayısıyla kesişimlerinin boş küme olması durumunda gerçekleşir.

Cevap B seçeneğidir.