ALES (Akademik Personel ve Lisansüstü Eğitimi Giriş Sınavı) Test 1

🎓 ALES (Akademik Personel ve Lisansüstü Eğitimi Giriş Sınavı) Test 1 - Ders Notu

Bu ders notu, ALES Sayısal Bölüm'ün başlangıcını oluşturan "Test 1" kapsamındaki temel matematik konularını sade ve anlaşılır bir dille özetlemektedir. Bu konular, sınavdaki diğer matematiksel akıl yürütme sorularının temelini oluşturur.

📌 Temel Kavramlar

ALES'in sayısal bölümünde başarılı olmak için sayıların dünyasına sağlam bir giriş yapmak önemlidir. İşte bilmeniz gereken temel kavramlar:

• Sayı Kümeleri: Doğal sayılar ($\mathbb{N}$), tam sayılar ($\mathbb{Z}$), rasyonel sayılar ($\mathbb{Q}$) ve reel sayılar ($\mathbb{R}$) arasındaki farkı ve her birinin özelliklerini bilmelisiniz.
• Tek ve Çift Sayılar: Bir sayının 2 ile tam bölünüp bölünmemesine göre belirlenir. İşlemlerde sonuçların tek mi çift mi olacağını tahmin etmek önemlidir. (Örn: Tek + Tek = Çift, Tek x Çift = Çift)
• Pozitif ve Negatif Sayılar: Sıfırdan büyük sayılar pozitif, küçük sayılar negatiftir. İşaret kurallarına dikkat edilmelidir. (Örn: Negatif x Negatif = Pozitif)
• Ardışık Sayılar: Belirli bir kurala göre birbirini takip eden sayılardır (Örn: $1, 2, 3, ...$ veya $2, 4, 6, ...$). Ardışık sayıların toplamı veya ortalaması ile ilgili sorular sıkça çıkar.
• Faktöriyel: Bir sayının kendisinden başlayarak 1'e kadar tüm doğal sayıların çarpımıdır (Örn: $5! = 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 120$). Özellikle sadeleştirme sorularında karşımıza çıkar.

💡 İpucu: Sayı kümeleri arasındaki ilişkileri bir Venn şeması gibi görselleştirerek akılda tutmak daha kolay olabilir.

📌 Sayı Basamakları ve Çözümleme

Bir sayıyı oluşturan rakamların konumlarına göre değer kazanması, sayı basamakları ve çözümleme konusunun temelidir.

• Basamak Değeri: Bir rakamın sayıda bulunduğu yere göre aldığı değerdir (Örn: $345$ sayısında $4$'ün basamak değeri $4 \times 10 = 40$'tır).
• Sayı Değeri: Bir rakamın kendi başına ifade ettiği değerdir (Örn: $345$ sayısında $4$'ün sayı değeri $4$'tür).
• Çözümleme: Bir sayıyı basamak değerlerinin toplamı şeklinde yazmaktır (Örn: $ABC = 100A + 10B + C$). Bu, özellikle rakamları yer değiştirme veya rakamlar arasındaki ilişkiyi sorgulayan problemlerde kullanılır.

⚠️ Dikkat: Sayı basamakları sorularında bilinmeyen rakamlar genellikle $A, B, C$ gibi harflerle temsil edilir. Bu harflerin birer rakam (0-9 arası) olduğunu ve ilk basamaktaki harfin 0 olamayacağını unutmayın.

📌 Bölünebilme Kuralları

Büyük sayıların belirli sayılara tam bölünüp bölünmediğini hızlıca anlamak için kurallar mevcuttur. Bu kurallar, kalan bulma ve sayı oluşturma problemlerinde çok işe yarar.

• 2 ile Bölünebilme: Birler basamağı çift sayı ($0, 2, 4, 6, 8$) olmalıdır.
• 3 ile Bölünebilme: Rakamları toplamı $3$'ün katı olmalıdır.
• 4 ile Bölünebilme: Son iki basamağının oluşturduğu sayı $4$'ün katı olmalıdır. ($00, 04, 08, ...$)
• 5 ile Bölünebilme: Birler basamağı $0$ veya $5$ olmalıdır.
• 6 ile Bölünebilme: Hem $2$ hem de $3$ ile tam bölünmelidir.
• 9 ile Bölünebilme: Rakamları toplamı $9$'un katı olmalıdır.
• 10 ile Bölünebilme: Birler basamağı $0$ olmalıdır.

💡 İpucu: Bir sayının $A$ ve $B$ gibi aralarında asal iki sayıya bölünmesi gerekiyorsa, hem $A$'ya hem de $B$'ye ayrı ayrı bölünebilmelidir. (Örn: $12$ ile bölünebilme için $3$ ve $4$ ile bölünebilme kuralına bakılır, $6$ ve $2$ değil çünkü aralarında asal değiller).

📌 Asal Sayılar ve EBOB-EKOK

Sayılar teorisinin temel yapı taşlarından olan asal sayılar ve onlarla ilişkili EBOB-EKOK kavramları ALES'te sıkça karşımıza çıkar.

• Asal Sayı: $1$'den ve kendisinden başka pozitif tam böleni olmayan $1$'den büyük doğal sayılardır (Örn: $2, 3, 5, 7, 11, ...$). En küçük asal sayı $2$'dir ve çift olan tek asal sayıdır.
• Aralarında Asal Sayılar: $1$'den başka ortak pozitif tam böleni olmayan sayılardır (Örn: $8$ ve $15$ aralarında asaldır).
• Asal Çarpanlara Ayırma: Bir sayıyı asal çarpanlarının çarpımı şeklinde yazmaktır (Örn: $60 = 2^2 \times 3^1 \times 5^1$).
• EBOB (En Büyük Ortak Bölen): İki veya daha fazla sayıyı aynı anda bölen en büyük sayıdır. Ortak asal çarpanların en küçük üslü olanlarının çarpımıdır.
• EKOK (En Küçük Ortak Kat): İki veya daha fazla sayının ortak katları arasında en küçük olanıdır. Tüm asal çarpanların en büyük üslü olanlarının çarpımıdır.

⚠️ Dikkat: EBOB ve EKOK problemleri genellikle "birleştirme, bölme, gruplama" gibi senaryolarla karşımıza çıkar. EBOB daha çok parçalama, EKOK ise birleştirme (ortak bir noktada buluşma) sorularında kullanılır.

📌 Rasyonel Sayılar

Kesirli ifadeler ve ondalık sayılarla işlem yapma becerisi, ALES'in vazgeçilmez bir parçasıdır.

• Kesirler: $a/b$ şeklinde yazılabilen sayılardır ($b \neq 0$). Toplama, çıkarma, çarpma ve bölme işlemlerinde payda eşitleme, sadeleştirme ve ters çevirme gibi kurallara dikkat edilmelidir.
• Ondalık Sayılar: Paydası $10$'un kuvveti olan kesirlerin virgülden sonraki gösterimidir (Örn: $0.25 = 1/4$).
• Devirli Ondalık Sayılar: Virgülden sonraki basamakları belirli bir düzen içinde tekrar eden sayılardır (Örn: $0.333... = 0.\bar{3}$). Devirli ondalık sayıları kesre çevirme formülünü bilmek önemlidir:

  $\text{Sayı} = \frac{\text{Tüm sayı} - \text{Devretmeyen kısım}}{\text{Devreden basamak sayısı kadar 9, devretmeyen basamak sayısı kadar 0}}$

  (Örn: $0.\bar{3} = \frac{3-0}{9} = \frac{1}{3}$)

💡 İpucu: Kesirli ifadelerde işlem yaparken, işlem önceliğine (parantez, üslü sayı, çarpma/bölme, toplama/çıkarma) uymak çok önemlidir.

📌 Üslü Sayılar

Bir sayının kendisiyle tekrarlı çarpımını ifade eden üslü sayılar, işlem becerisi gerektiren konulardandır.

• Tanım: $a^n$, $a$'nın kendisiyle $n$ kez çarpımıdır. $a$ taban, $n$ kuvvettir.
• Temel Kurallar:
  • Çarpma: Tabanlar aynı ise üsler toplanır ($a^x \cdot a^y = a^{x+y}$).
  • Bölme: Tabanlar aynı ise üsler çıkarılır ($a^x / a^y = a^{x-y}$).
  • Üssün Üssü: Üsler çarpılır ($(a^x)^y = a^{x \cdot y}$).
  • Negatif Üs: Sayıyı ters çevirir ($a^{-n} = 1/a^n$).
  • Sıfırıncı Kuvvet: Sıfır hariç her sayının $0$. kuvveti $1$'dir ($a^0 = 1, a \neq 0$).

⚠️ Dikkat: Negatif tabanlı üslü sayılarda parantez kullanımına çok dikkat edin. $(-2)^4 = 16$ iken $-2^4 = -16$'dır.

📌 Köklü Sayılar

Bir sayının hangi sayının kuvveti olduğunu bulmaya yarayan köklü ifadeler, üslü sayılarla yakından ilişkilidir.

• Tanım: $\sqrt[n]{a}$ ifadesi, $n$. kuvveti $a$'ya eşit olan sayıyı ifade eder. Karekök $(\sqrt{a})$ en sık kullanılanıdır.
• Temel Kurallar:
  • Üslü Sayıya Çevirme: $\sqrt[n]{a^m} = a^{m/n}$. Bu kural, köklü ve üslü sayılar arasında geçiş yapmayı sağlar.
  • Çarpma ve Bölme: Kök dereceleri aynı ise kök içleri çarpılır/bölünür ($\sqrt[n]{a} \cdot \sqrt[n]{b} = \sqrt[n]{a \cdot b}$).
  • Kök Dışına Çıkarma: Kök içindeki bir sayının üssü, kök derecesine eşit veya büyükse dışarı çıkarılabilir ($\sqrt{a^2 b} = a\sqrt{b}$).
  • Paydayı Rasyonel Yapma: Paydada köklü ifade varsa, eşleniği ile çarpılarak payda rasyonel hale getirilir (Örn: $1/\sqrt{2} = \sqrt{2}/2$).

💡 İpucu: Köklü sayılarda toplama ve çıkarma işlemi yapabilmek için kök içlerinin ve kök derecelerinin aynı olması gerekir (Örn: $2\sqrt{3} + 5\sqrt{3} = 7\sqrt{3}$).