f(x) = 3x + 1 fonksiyonunun tersinin grafiği orijine göre simetrik midir?
Bu soruyu çözmek için öncelikle verilen fonksiyonun tersini bulmalı, ardından ters fonksiyonun grafiğinin orijine göre simetrik olup olmadığını kontrol etmeliyiz.
Verilen fonksiyon $f(x) = 3x + 1$'dir. Bir fonksiyonun tersini bulmak için şu adımları izleriz:
Önce $f(x)$ yerine $y$ yazarız: $y = 3x + 1$.
Şimdi $x$ ve $y$ değişkenlerinin yerini değiştiririz: $x = 3y + 1$.
Bu denklemi $y$ için çözeriz:
$x - 1 = 3y$
$y = \frac{x-1}{3}$
Böylece, $f(x)$ fonksiyonunun tersi $f^{-1}(x) = \frac{x-1}{3}$ olarak bulunur.
Bir fonksiyonun grafiğinin orijine göre simetrik olması demek, eğer $(a, b)$ noktası grafiğin üzerindeyse, o zaman $(-a, -b)$ noktasının da grafiğin üzerinde olması demektir. Matematiksel olarak, bir $g(x)$ fonksiyonunun orijine göre simetrik olması için $g(-x) = -g(x)$ koşulunu sağlaması gerekir.
Şimdi bulduğumuz ters fonksiyon $f^{-1}(x) = \frac{x-1}{3}$ için orijine göre simetri koşulunu kontrol edelim. Ters fonksiyonu $g(x)$ olarak adlandıralım: $g(x) = \frac{x-1}{3}$.
Önce $g(-x)$ ifadesini bulalım:
$g(-x) = \frac{(-x)-1}{3} = \frac{-x-1}{3}$
Şimdi de $-g(x)$ ifadesini bulalım:
$-g(x) = -\left(\frac{x-1}{3}\right) = \frac{-(x-1)}{3} = \frac{-x+1}{3}$
$g(-x)$ ve $-g(x)$ ifadelerini karşılaştıralım:
$g(-x) = \frac{-x-1}{3}$
$-g(x) = \frac{-x+1}{3}$
Gördüğümüz gibi, $\frac{-x-1}{3} \neq \frac{-x+1}{3}$'tür (örneğin $x=1$ için $g(-1) = -2/3$ iken $-g(1) = 0$). Bu iki ifade birbirine eşit değildir. Dolayısıyla, $g(-x) = -g(x)$ koşulu sağlanmamaktadır.
Ters fonksiyonun orijine göre simetri koşulunu sağlamadığını gördüğümüz için, $f(x) = 3x + 1$ fonksiyonunun tersinin grafiği orijine göre simetrik değildir.
Cevap B seçeneğidir.
