Üstel eşitsizlikler Test 1

9^x - 10·3^x + 9 ≤ 0 eşitsizliğinin çözüm kümesi nedir?

A) 0 ≤ x ≤ 2
B) 1 ≤ x ≤ 2
C) x ≤ 0 veya x ≥ 2
D) x ≤ 1 veya x ≥ 2

Bu eşitsizliği çözmek için, öncelikle ifadeyi daha tanıdık bir forma dönüştürmemiz gerekiyor. Eşitsizlikte $9^x$ ve $3^x$ terimleri bulunmaktadır. $9^x$ ifadesini $3^x$ cinsinden yazarak bir değişken değiştirme yapabiliriz.

• Adım 1: Eşitsizliği Ortak Taban Cinsinden Yazma

  Verilen eşitsizlik $9^x - 10 \cdot 3^x + 9 \leq 0$ şeklindedir.

  Biliyoruz ki $9 = 3^2$. Bu bilgiyi kullanarak $9^x$ ifadesini $(3^2)^x = 3^{2x} = (3^x)^2$ şeklinde yazabiliriz.

  Eşitsizliği yeniden düzenlersek:

  $(3^x)^2 - 10 \cdot 3^x + 9 \leq 0$

• Adım 2: Değişken Değiştirme Yapma

  Şimdi ifadeyi daha basit bir hale getirmek için bir değişken değiştirme yapalım. $u = 3^x$ olsun.

  Unutmayalım ki, $3^x$ ifadesi her zaman pozitiftir, yani $u > 0$ olmalıdır.

  Bu değişken değiştirmeyi eşitsizlikte yerine koyarsak, ikinci dereceden bir eşitsizlik elde ederiz:

  $u^2 - 10u + 9 \leq 0$

• Adım 3: İkinci Dereceden Eşitsizliği Çözme

  Elde ettiğimiz $u^2 - 10u + 9 \leq 0$ eşitsizliğini çözmek için önce köklerini bulalım. Çarpanlara ayırma yöntemini kullanabiliriz:

  $(u - 1)(u - 9) = 0$

  Bu denklemin kökleri $u_1 = 1$ ve $u_2 = 9$'dur.

  Şimdi eşitsizliğin işaretini inceleyelim. $u^2 - 10u + 9$ ifadesi, $u^2$ teriminin katsayısı pozitif olduğu için kolları yukarı doğru olan bir paraboldür. Bu tür bir parabol, kökleri arasında negatif veya sıfır değerler alır.

  Dolayısıyla, eşitsizliğin çözüm aralığı kökler arasında olacaktır:

  $1 \leq u \leq 9$

  Ayrıca, Adım 2'de belirttiğimiz $u > 0$ koşulunu da kontrol edelim. Bulduğumuz $1 \leq u \leq 9$ aralığı, $u > 0$ koşulunu sağlamaktadır.

• Adım 4: Değişkeni Geri Yerine Koyarak $x$ Değerlerini Bulma

  Şimdi $u = 3^x$ değişkenini geri yerine koyarak $x$ için çözüm kümesini bulalım:

  $1 \leq 3^x \leq 9$

  Bu ifadeyi iki ayrı eşitsizlik olarak düşünebiliriz:

  a) $1 \leq 3^x$

  Biliyoruz ki $1 = 3^0$. O halde, $3^0 \leq 3^x$.

  Taban $3$ (yani $3 > 1$) olduğu için, üsleri karşılaştırırken eşitsizlik yönü korunur:

  $0 \leq x$

  b) $3^x \leq 9$

  Biliyoruz ki $9 = 3^2$. O halde, $3^x \leq 3^2$.

  Taban $3$ (yani $3 > 1$) olduğu için, üsleri karşılaştırırken eşitsizlik yönü korunur:

  $x \leq 2$

• Adım 5: Çözüm Kümelerini Birleştirme

  Elde ettiğimiz $0 \leq x$ ve $x \leq 2$ eşitsizliklerini birleştirirsek, çözüm kümesini buluruz:

  $0 \leq x \leq 2$

Bu durumda, eşitsizliğin çözüm kümesi $0 \leq x \leq 2$ olarak bulunur.

Çözüm kümesi A seçeneğinde verilmiştir.