Bir yay 10 cm sıkıştırıldığında depolanan esneklik potansiyel enerjisi 5 J'dir. Aynı yay 20 cm sıkıştırıldığında depolanan enerji kaç J olur?
Sevgili öğrenciler, bu soruyu adım adım çözerek esneklik potansiyel enerjisi kavramını pekiştirelim. Bu tür sorular, fizik prensiplerini günlük hayattaki olaylarla ilişkilendirmemize yardımcı olur.
Bir yay sıkıştırıldığında veya gerildiğinde depoladığı enerjiye esneklik potansiyel enerjisi denir. Bu enerji, yayın sıkışma veya gerilme miktarının karesiyle doğru orantılıdır.
Soruda bize iki farklı sıkışma durumu ve bunlara karşılık gelen enerjilerle ilgili bilgi verilmiş:
İlk Durum: Yay $10 \text{ cm}$ sıkıştırıldığında depolanan enerji $5 \text{ J}$.
İkinci Durum: Aynı yay $20 \text{ cm}$ sıkıştırıldığında depolanan enerji kaç J olur?
Fizik problemlerinde birimleri tutarlı kullanmak çok önemlidir. Genellikle metre (m) ve Joule (J) gibi SI birimleri tercih edilir. Bu nedenle, santimetre (cm) cinsinden verilen sıkışma miktarlarını metreye (m) çevirelim:
$x_1 = 10 \text{ cm} = 0.1 \text{ m}$
$E_{p1} = 5 \text{ J}$
$x_2 = 20 \text{ cm} = 0.2 \text{ m}$
$E_{p2} = ?$ (İkinci durumdaki depolanan enerji)
Bir yayda depolanan esneklik potansiyel enerjisi ($E_p$) şu formülle hesaplanır:
$E_p = \frac{1}{2}kx^2$
Bu formüldeki terimlerin anlamları şunlardır:
$k$: Yayın yay sabiti. Bu değer, yayın ne kadar sert veya esnek olduğunu gösterir. Aynı yay için $k$ sabiti her zaman aynıdır.
$x$: Yayın denge konumundan sıkışma veya gerilme miktarıdır.
Bu soruyu çözmek için iki farklı ve geçerli yol izleyebiliriz. Her ikisi de doğru sonuca götürecektir:
Yol 1: Yay Sabitini Hesaplayarak
Önce ilk durumdaki verileri kullanarak yay sabiti $k$'yı bulalım:
$E_{p1} = \frac{1}{2}kx_1^2$
$5 \text{ J} = \frac{1}{2}k(0.1 \text{ m})^2$
$5 = \frac{1}{2}k(0.01)$
Denklemi $k$ için çözelim:
$10 = k \times 0.01$
$k = \frac{10}{0.01} = 1000 \text{ N/m}$
Şimdi bulduğumuz bu $k$ değerini ve ikinci durumdaki sıkışma miktarını ($x_2 = 0.2 \text{ m}$) kullanarak $E_{p2}$'yi hesaplayalım:
$E_{p2} = \frac{1}{2}kx_2^2$
$E_{p2} = \frac{1}{2}(1000 \text{ N/m})(0.2 \text{ m})^2$
$E_{p2} = \frac{1}{2}(1000)(0.04)$
$E_{p2} = 500 \times 0.04$
$E_{p2} = 20 \text{ J}$
Yol 2: Oranlama Yöntemi (Daha Hızlı ve Pratik)
Esneklik potansiyel enerjisi formülüne ($E_p = \frac{1}{2}kx^2$) baktığımızda, aynı yay için $k$ sabiti değişmediğinden, enerji sıkışma miktarının karesiyle doğru orantılıdır. Yani $E_p \propto x^2$. Bu, sıkışma miktarı arttıkça enerjinin çok daha hızlı arttığı anlamına gelir.
Bu durumda, enerjilerin oranı sıkışma miktarlarının karelerinin oranına eşit olacaktır:
$\frac{E_{p1}}{E_{p2}} = \frac{x_1^2}{x_2^2}$
Verilen değerleri yerine yazalım. Bu yöntemde, sıkışma miktarlarının birimleri (cm) birbirini götüreceği için metreye çevirme zorunluluğu yoktur, ancak yine de tutarlılık açısından çevirmek iyi bir alışkanlıktır:
$\frac{5 \text{ J}}{E_{p2}} = \frac{(10 \text{ cm})^2}{(20 \text{ cm})^2}$
Kareleri alalım:
$\frac{5}{E_{p2}} = \frac{100}{400}$
Kesri sadeleştirelim:
$\frac{5}{E_{p2}} = \frac{1}{4}$
Şimdi $E_{p2}$'yi bulmak için içler dışlar çarpımı yapalım:
$E_{p2} = 5 \times 4$
$E_{p2} = 20 \text{ J}$
Her iki yöntemle de aynı sonuca ulaştık: $20 \text{ J}$.
Gördüğümüz gibi, sıkışma miktarı 2 katına çıktığında ($10 \text{ cm}$'den $20 \text{ cm}$'ye), depolanan enerji $2^2 = 4$ katına çıkmıştır ($5 \text{ J}$'den $20 \text{ J}$'ye). Bu, esneklik potansiyel enerjisinin sıkışma miktarının karesiyle doğru orantılı olduğunu gösteren önemli bir gözlemdir.
Cevap C seçeneğidir.
