Aynı ilk hızla atılan iki cisimden biri 30°, diğeri 60° açıyla atılıyor. Bu iki cismin menzilleri arasındaki ilişki nedir?
A) 30° atılanın menzili daha büyüktür
B) 60° atılanın menzili daha büyüktür
C) Menzilleri eşittir
D) İlişki ilk hıza bağlıdır
E) Kesin bir şey söylenemez
Merhaba sevgili öğrenciler!
Bu soruda, aynı ilk hızla atılan iki cismin farklı açılarla atıldığında menzilleri arasındaki ilişkiyi inceleyeceğiz. Menzil, bir cismin yatayda kat ettiği mesafedir ve atış hareketinin önemli bir özelliğidir.
- Menzil Formülü: Bir cismin yatayda aldığı menzil ($R$), ilk hızı ($v_0$), atış açısı ($\theta$) ve yer çekimi ivmesi ($g$) ile şu formülle hesaplanır:
$R = \frac{v_0^2 \sin(2\theta)}{g}$
Bu formül, atış hareketinde menzili belirleyen temel denklemdir.
- İlk Cismin Menzili (30°): İlk cisim $30^\circ$ açıyla atıldığına göre, bu açıyı formülde yerine koyalım.
$\theta_1 = 30^\circ$
$2\theta_1 = 2 \times 30^\circ = 60^\circ$
Bu durumda ilk cismin menzili ($R_1$) şöyle olur:
$R_1 = \frac{v_0^2 \sin(60^\circ)}{g}$
- İkinci Cismin Menzili (60°): İkinci cisim $60^\circ$ açıyla atıldığına göre, bu açıyı formülde yerine koyalım.
$\theta_2 = 60^\circ$
$2\theta_2 = 2 \times 60^\circ = 120^\circ$
Bu durumda ikinci cismin menzili ($R_2$) şöyle olur:
$R_2 = \frac{v_0^2 \sin(120^\circ)}{g}$
- Menzilleri Karşılaştırma: Şimdi $R_1$ ve $R_2$ ifadelerini karşılaştıralım. Her iki cisim de aynı ilk hız ($v_0$) ve aynı yer çekimi ivmesi ($g$) ile atıldığı için, menziller arasındaki ilişki $\sin(60^\circ)$ ve $\sin(120^\circ)$ değerlerine bağlıdır.
Trigonometrik bir özdeşlik olan $\sin(180^\circ - x) = \sin(x)$ kuralını hatırlayalım.
Bu kurala göre $\sin(120^\circ) = \sin(180^\circ - 60^\circ) = \sin(60^\circ)$ olur.
Yani, $\sin(60^\circ)$ değeri ile $\sin(120^\circ)$ değeri birbirine eşittir.
- Sonuç: $\sin(60^\circ) = \sin(120^\circ)$ olduğu için, menzil formüllerindeki $\sin(2\theta)$ terimleri birbirine eşit olacaktır.
$R_1 = \frac{v_0^2 \sin(60^\circ)}{g}$
$R_2 = \frac{v_0^2 \sin(120^\circ)}{g}$
$R_1 = R_2$
Bu durum, atış açılarının birbirini $90^\circ$'ye tamamladığı (tümler açılar olduğu) durumlarda (örneğin $30^\circ$ ve $60^\circ$, $20^\circ$ ve $70^\circ$, $45^\circ - \alpha$ ve $45^\circ + \alpha$) menzillerin eşit olacağını gösteren genel bir kuraldır.
Cevap C seçeneğidir.
