cos(2a) formülü (cos²a - sin²a)

Question

Bu formülü genelde ezberliyorum ama hangi soru tipinde kullanacağımı tam olarak kestiremiyorum. Özellikle cos²a ve sin²a gördüğüm sorularda mı bu formülü uygulamam gerekiyor? Açıyı iki katına çıkaran bu dönüşümü ne zaman kullanmam gerektiğini karıştırıyorum.

Answer 1

🎯 Çift Açı Formülü: cos(2a)

Trigonometride en önemli ve kullanışlı formüllerden biri, bir açının iki katının kosinüs değerini veren çift açı formülüdür. Bu formül, kosinüs ve sinüs fonksiyonları arasındaki ilişkiyi gösterir ve birçok trigonometrik problemin çözümünde kullanılır.

📖 Temel Formül

Bir a açısı için, iki katının kosinüs değeri şu şekilde hesaplanır:

cos(2a) = cos²a - sin²a

💡 Formülün Diğer Versiyonları

Bu formül, temel trigonometrik özdeşlik olan sin²a + cos²a = 1 kullanılarak iki farklı şekilde daha yazılabilir:

• ✅ cos(2a) = 2cos²a - 1
• ✅ cos(2a) = 1 - 2sin²a

🔍 Formülün İspatı

Bu formül, toplam formüllerinden kolayca türetilebilir. Kosinüsün toplam formülünü hatırlayalım:

cos(x + y) = cos x . cos y - sin x . sin y

Eğer x = a ve y = a alırsak:

cos(a + a) = cos a . cos a - sin a . sin a

cos(2a) = cos²a - sin²a

İşte bu kadar! Formülümüz ispatlanmış oldu. 🎉

📝 Örnekler

Şimdi bu formülü birkaç örnekle pekiştirelim:

🧮 Örnek 1:

a = 30° ise, cos(60°) değerini hesaplayalım.

cos(2 * 30°) = cos²30° - sin²30°

cos(60°) = (√3/2)² - (1/2)²

cos(60°) = (3/4) - (1/4) = 2/4 = 1/2

Doğrulama: cos(60°) = 1/2 ✅

🧮 Örnek 2:

Eğer cos a = 3/5 ise, cos(2a) değerini bulalım.

Önce sin a değerini bulmamız gerekiyor:

sin²a = 1 - cos²a = 1 - (3/5)² = 1 - 9/25 = 16/25

sin a = 4/5

Şimdi formülü uygulayalım:

cos(2a) = cos²a - sin²a = (3/5)² - (4/5)² = 9/25 - 16/25 = -7/25

📌 Önemli Noktalar

• ⭐ Bu formül, trigonometrik ifadeleri sadeleştirmede çok kullanışlıdır.
• ⭐ İntegral ve türev problemlerinde sıkça karşımıza çıkar.
• ⭐ Formülün diğer versiyonları, bazen hesaplamaları daha kolay hale getirebilir.
• ⭐ Benzer şekilde sin(2a) = 2sin a . cos a formülü de vardır.

Bu formülü iyi öğrenmek, trigonometri problemlerini çözmede size büyük kolaylık sağlayacaktır. 📚