C(5,2) kombinasyonunun değeri kaçtır?
Sevgili öğrenciler, bu soruda kombinasyon kavramını kullanarak $C(5,2)$ ifadesinin değerini bulacağız. Kombinasyon, belirli bir kümeden, elemanların sıralaması önemli olmaksızın kaç farklı alt küme oluşturabileceğimizi gösterir. Yani, 5 farklı nesne arasından 2 tanesini kaç farklı şekilde seçebileceğimizi hesaplayacağız.
1. Kombinasyon Formülünü Hatırlayalım:
Genel kombinasyon formülü şöyledir: $C(n, k) = \frac{n!}{k!(n-k)!}$
Bu formülde $n$ toplam eleman sayısını, $k$ seçilecek eleman sayısını ve $!$ faktöriyel işaretini (örneğin, $5! = 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1$) temsil eder.
2. Verilen Değerleri Formüle Yerleştirelim:
Sorumuzda $C(5,2)$ ifadesi verilmiştir. Bu durumda $n=5$ (toplam 5 eleman) ve $k=2$ (2 eleman seçeceğiz) olur.
Formülü kullanarak ifademizi yazalım: $C(5,2) = \frac{5!}{2!(5-2)!}$
3. Parantez İçindeki İşlemi Yapalım:
Önce parantez içindeki çıkarma işlemini yapalım: $5-2 = 3$.
Şimdi ifademiz şöyle oldu: $C(5,2) = \frac{5!}{2!3!}$
4. Faktöriyelleri Açalım ve Sadeleştirelim:
İfadeyi daha kolay hesaplamak için faktöriyelleri açarken sadeleştirme yapabiliriz. Paydaki $5!$ ifadesini $5 \times 4 \times 3!$ şeklinde yazabiliriz:
$C(5,2) = \frac{5 \times 4 \times 3!}{2! \times 3!}$
Burada pay ve paydadaki $3!$ ifadeleri birbirini götürür. Bu, hesaplamayı çok daha pratik hale getirir.
Geriye kalan ifade: $C(5,2) = \frac{5 \times 4}{2!}$
Şimdi $2!$ değerini hesaplayalım: $2! = 2 \times 1 = 2$.
İfadeyi yerine yazalım: $C(5,2) = \frac{5 \times 4}{2}$
5. Hesaplamayı Tamamlayalım:
Pay kısmını çarpalım: $5 \times 4 = 20$.
Şimdi bölme işlemini yapalım: $C(5,2) = \frac{20}{2} = 10$.
Böylece $C(5,2)$ kombinasyonunun değerini 10 olarak bulmuş olduk. Bu, 5 farklı nesne arasından 2 tanesini 10 farklı şekilde seçebileceğimiz anlamına gelir.
Cevap B seçeneğidir.
