C(6,4) ifadesi aşağıdakilerden hangisine eşittir?
Bu soruyu çözmek için kombinasyonların temel özelliklerinden faydalanacağız. Kombinasyon, belirli bir kümeden belirli sayıda elemanı seçme yollarının sayısını ifade eder ve sıralama önemli değildir. $C(n, k)$ şeklinde gösterilir ve $n$ elemanlı bir kümeden $k$ eleman seçme sayısını belirtir.
Genel kombinasyon formülü şöyledir:
$C(n, k) = \frac{n!}{k!(n-k)!}$
Burada $n!$ (n faktöriyel), $n \times (n-1) \times \dots \times 1$ anlamına gelir.
Verilen ifade $C(6,4)$'tür. Burada $n=6$ ve $k=4$'tür. Formülü uygulayalım:
$C(6,4) = \frac{6!}{4!(6-4)!} = \frac{6!}{4!2!}$
Şimdi faktöriyelleri açalım:
$6! = 6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 720$
$4! = 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 24$
$2! = 2 \times 1 = 2$
Yerine koyarsak:
$C(6,4) = \frac{720}{24 \times 2} = \frac{720}{48} = 15$
Demek ki $C(6,4)$ değeri $15$'tir.
Kombinasyonlarda çok önemli bir simetri özelliği bulunur: $C(n, k) = C(n, n-k)$.
Bu özellik, $n$ elemanlı bir kümeden $k$ eleman seçmenin, aslında $n$ elemanlı kümeden seçilmeyen $n-k$ elemanı belirlemekle aynı sayıda yol olduğunu ifade eder. Yani, $k$ elemanı seçmek, $n-k$ elemanı dışarıda bırakmak demektir ve bu iki işlem aynı sayıda farklı kombinasyon verir.
Verilen $C(6,4)$ ifadesinde $n=6$ ve $k=4$'tür.
Simetri özelliğini kullanarak $n-k$ değerini bulalım:
$n-k = 6-4 = 2$
Bu durumda, $C(6,4)$ ifadesi $C(6, 6-4)$ yani $C(6,2)$ ifadesine eşittir.
Simetri özelliğinin doğruluğunu göstermek için $C(6,2)$'yi de hesaplayalım:
$C(6,2) = \frac{6!}{2!(6-2)!} = \frac{6!}{2!4!}$
$C(6,2) = \frac{6 \times 5 \times 4!}{2 \times 1 \times 4!} = \frac{6 \times 5}{2 \times 1} = \frac{30}{2} = 15$
Gördüğümüz gibi, $C(6,4)$ ve $C(6,2)$ ifadelerinin her ikisi de $15$ değerine sahiptir. Bu da simetri özelliğinin doğruluğunu kanıtlar.
Seçeneklere baktığımızda, A seçeneği $C(6,2)$'dir ve bulduğumuz sonuçla eşleşmektedir.
Cevap A seçeneğidir.
