Kombinasyon formülü C(n,r) Test 1

C(8,5) kombinasyonunun değeri kaçtır?

A) 28
B) 36
C) 56
D) 70

Merhaba sevgili öğrenciler!

Bugün sizlerle kombinasyon kavramını ve $C(8,5)$ ifadesinin değerini adım adım hesaplamayı öğreneceğiz. Kombinasyon, belirli bir kümeden, elemanların seçilme sırası önemli olmadan kaç farklı şekilde alt kümeler oluşturulabileceğini bulmamızı sağlayan bir matematiksel yöntemdir.

1. Kombinasyon Formülü:

Genel kombinasyon formülü şu şekildedir:

• $C(n, k) = \frac{n!}{k! \cdot (n-k)!}$

Burada:

• $n$, toplam eleman sayısını,
• $k$, seçilecek eleman sayısını,
• $!$ ise faktöriyel işaretini (örneğin, $5! = 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1$) temsil eder.

2. Sorumuzdaki Değerleri Belirleme:

Sorumuzda $C(8,5)$ ifadesi verilmiştir. Bu durumda:

• Toplam eleman sayısı $n = 8$
• Seçilecek eleman sayısı $k = 5$

3. Değerleri Formülde Yerine Koyma:

Şimdi bu değerleri kombinasyon formülüne yerleştirelim:

• $C(8, 5) = \frac{8!}{5! \cdot (8-5)!}$
• $C(8, 5) = \frac{8!}{5! \cdot 3!}$

4. Faktöriyelleri Hesaplama ve Sadeleştirme:

Faktöriyelleri açarak veya sadeleştirme yaparak işlemi kolaylaştırabiliriz. $8!$ ifadesini $5!$ cinsinden yazabiliriz:

• $8! = 8 \times 7 \times 6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 8 \times 7 \times 6 \times (5!)$
• $3! = 3 \times 2 \times 1 = 6$

Şimdi bu değerleri formülde yerine koyalım:

• $C(8, 5) = \frac{8 \times 7 \times 6 \times 5!}{5! \cdot 3!}$

Pay ve paydadaki $5!$ ifadeleri birbirini götürür:

• $C(8, 5) = \frac{8 \times 7 \times 6}{3!}$

$3!$ değerini yerine yazalım:

• $C(8, 5) = \frac{8 \times 7 \times 6}{6}$

Pay ve paydadaki $6$ değerleri de birbirini götürür:

• $C(8, 5) = 8 \times 7$
• $C(8, 5) = 56$

5. Sonucu Seçeneklerle Karşılaştırma:

Bulduğumuz $56$ değeri, seçeneklerdeki C seçeneği ile eşleşmektedir.

Cevap C seçeneğidir.