Koordinat düzleminde denklemi \(2x + 3y - 6 = 0\) olan doğruya paralel olan ve A(1,4) noktasından geçen doğrunun denklemi aşağıdakilerden hangisidir?
A) \(2x + 3y - 10 = 0\)Merhaba sevgili öğrenciler!
Bugün sizlerle koordinat düzleminde doğruların denklemleriyle ilgili önemli bir problemi adım adım çözeceğiz. Amacımız, verilen bir doğruya paralel olan ve belirli bir noktadan geçen yeni bir doğrunun denklemini bulmak. Hazırsanız başlayalım!
Öncelikle, denklemi $2x + 3y - 6 = 0$ olan doğrunun eğimini bulmalıyız. Genel olarak, $Ax + By + C = 0$ şeklindeki bir doğrunun eğimi $m = -\frac{A}{B}$ formülüyle bulunur.
Bizim denklemimizde $A = 2$ ve $B = 3$'tür. Bu değerleri formülde yerine koyarsak:
$m_1 = -\frac{2}{3}$
Bu, verilen doğrunun eğimidir.
Hatırlayalım ki, birbirine paralel olan doğruların eğimleri birbirine eşittir. Yani, aradığımız yeni doğrunun eğimi de verilen doğrunun eğimiyle aynı olacaktır.
Bu durumda, yeni doğrumuzun eğimi de $m_2 = -\frac{2}{3}$ olacaktır.
Şimdi elimizde yeni doğrunun eğimi ($m = -\frac{2}{3}$) ve geçtiği bir nokta olan $A(1,4)$ var. Bir doğrunun eğimi ve geçtiği bir nokta bilindiğinde, denklemi $y - y_1 = m(x - x_1)$ formülüyle yazabiliriz. Burada $(x_1, y_1)$ noktanın koordinatlarıdır.
Noktamız $A(1,4)$ olduğundan $x_1 = 1$ ve $y_1 = 4$'tür. Eğimimiz ise $m = -\frac{2}{3}$'tür. Bu değerleri formülde yerine koyalım:
$y - 4 = -\frac{2}{3}(x - 1)$
Şimdi bulduğumuz denklemi seçeneklerdeki gibi $Ax + By + C = 0$ genel formuna getirelim. Öncelikle paydayı temizlemek için her iki tarafı $3$ ile çarpalım:
$3(y - 4) = -2(x - 1)$
Parantezleri açalım:
$3y - 12 = -2x + 2$
Tüm terimleri denklemin bir tarafına toplayalım (genellikle $x$ terimini pozitif yapmak için sol tarafa alırız):
$2x + 3y - 12 - 2 = 0$
$2x + 3y - 14 = 0$
Bulduğumuz doğru denklemi $2x + 3y - 14 = 0$'dır. Seçeneklere baktığımızda, bu denklemin B seçeneği ile aynı olduğunu görüyoruz.
Cevap B seçeneğidir.
