Mutlak değer fonksiyonu f(x) = |x| için aşağıdakilerden hangisi doğrudur?
A) Tek fonksiyondurBu soruda, mutlak değer fonksiyonu $f(x) = |x|$'in tek mi, çift mi, yoksa ne tek ne çift mi olduğunu belirleyeceğiz. Bir fonksiyonun tek veya çift olduğunu anlamak için belirli kurallarımız var.
Tek (Odd) Fonksiyon Tanımı: Bir $f(x)$ fonksiyonu tek fonksiyondur eğer tanım kümesindeki her $x$ değeri için $f(-x) = -f(x)$ eşitliği sağlanıyorsa. Başka bir deyişle, fonksiyonun grafiği orijine göre simetriktir.
Çift (Even) Fonksiyon Tanımı: Bir $f(x)$ fonksiyonu çift fonksiyondur eğer tanım kümesindeki her $x$ değeri için $f(-x) = f(x)$ eşitliği sağlanıyorsa. Başka bir deyişle, fonksiyonun grafiği y-eksenine göre simetriktir.
Şimdi, verilen $f(x) = |x|$ fonksiyonunu bu tanımlara göre adım adım inceleyelim:
Öncelikle, fonksiyonumuz $f(x) = |x|$'tir.
Şimdi, $f(-x)$ ifadesini bulalım. Fonksiyonda $x$ yerine $-x$ yazarsak:
$f(-x) = |-x|$
Mutlak değerin temel özelliğinden biliyoruz ki, bir sayının mutlak değeri ile o sayının negatifinin mutlak değeri birbirine eşittir. Örneğin, $|5| = 5$ ve $|-5| = 5$. Bu özellikten dolayı, $|-x| = |x|$'tir.
Bu durumda, $f(-x) = |x|$ sonucunu elde ederiz.
Şimdi bu sonucu $f(x)$ ile karşılaştıralım. Bizim $f(x)$ fonksiyonumuz da $f(x) = |x|$ idi.
Gördüğümüz gibi, $f(-x) = |x|$ ve $f(x) = |x|$ olduğundan, $f(-x) = f(x)$ eşitliği her $x$ değeri için sağlanmaktadır.
Çift fonksiyon tanımına göre, eğer $f(-x) = f(x)$ ise, fonksiyon çift fonksiyondur.
Ayrıca, tek fonksiyon olup olmadığını da kontrol edelim. Tek fonksiyon olması için $f(-x) = -f(x)$ olması gerekirdi. Bizim durumumuzda $f(-x) = |x|$ ve $-f(x) = -|x|$'tir. Genellikle $|x| \neq -|x|$ (bu eşitlik sadece $x=0$ için geçerlidir, ancak tek fonksiyon olması için tanım kümesindeki her $x$ değeri için sağlanmalıdır). Dolayısıyla, $f(x)$ tek fonksiyon değildir.
Bu analiz sonucunda, $f(x) = |x|$ fonksiyonunun çift fonksiyon tanımını sağladığını ve tek fonksiyon tanımını sağlamadığını görüyoruz.
Cevap B seçeneğidir.
