gerçek sayılarda tanımlı mutlak değer fonksiyonları ve nitel özellikleri örnekleri Test 1

f(x) = |x| fonksiyonu için aşağıdakilerden hangisi yanlıştır?

A) Tüm reel sayılarda tanımlıdır
B) Görüntü kümesi [0, ∞)'dur
C) x=0 noktasında türevi yoktur
D) Birebir fonksiyondur

Merhaba sevgili öğrenciler, $f(x) = |x|$ fonksiyonunun özelliklerini adım adım inceleyelim ve hangi ifadenin yanlış olduğunu bulalım.

• A) Tüm reel sayılarda tanımlıdır

  Mutlak değer fonksiyonu, her reel sayı için bir değer döndürür. Yani, $x$ yerine herhangi bir reel sayı koyduğunuzda, $|x|$ değerini hesaplayabilirsiniz. Örneğin, $|5|=5$, $|-3|=3$, $|0|=0$. Bu nedenle, fonksiyonun tanım kümesi tüm reel sayılar kümesidir ($\mathbb{R}$). Bu ifade doğrudur.

• B) Görüntü kümesi $[0, \infty)'$dur

  Mutlak değer fonksiyonunun sonucu asla negatif olamaz. Bir sayının mutlak değeri her zaman sıfıra eşit veya sıfırdan büyüktür. Yani, $f(x) = |x| \ge 0$ eşitsizliği her zaman geçerlidir. Ayrıca, sıfır ve tüm pozitif reel sayılar bu fonksiyonun çıktısı olabilir (örneğin, $f(0)=0$, $f(5)=5$). Bu nedenle, fonksiyonun görüntü kümesi $[0, \infty)$ aralığıdır. Bu ifade doğrudur.

• C) $x=0$ noktasında türevi yoktur

  $f(x) = |x|$ fonksiyonunun grafiği $x=0$ noktasında sivri bir köşe (kırılma noktası) oluşturur. Bir fonksiyonun grafiğinde sivri köşe bulunan noktalarda türev yoktur. Daha matematiksel olarak ifade etmek gerekirse, $x=0$ noktasındaki sağdan türev ile soldan türev birbirine eşit değildir:

  • Sağdan türev: $\lim_{h \to 0^+} \frac{f(0+h) - f(0)}{h} = \lim_{h \to 0^+} \frac{|h| - |0|}{h} = \lim_{h \to 0^+} \frac{h}{h} = 1$
  • Soldan türev: $\lim_{h \to 0^-} \frac{f(0+h) - f(0)}{h} = \lim_{h \to 0^-} \frac{|h| - |0|}{h} = \lim_{h \to 0^-} \frac{-h}{h} = -1$

  Sağdan türev $1$ iken soldan türev $-1$'dir. Bu değerler eşit olmadığı için $x=0$ noktasında türev yoktur. Bu ifade doğrudur.

• D) Birebir fonksiyondur

  Bir fonksiyonun birebir (one-to-one) olması için, tanım kümesindeki farklı her elemanın görüntü kümesinde farklı bir elemanla eşleşmesi gerekir. Yani, eğer $f(x_1) = f(x_2)$ ise, bu durumda $x_1 = x_2$ olmalıdır.

  Ancak $f(x) = |x|$ fonksiyonu için bu durum geçerli değildir. Örneğin:

  • $f(2) = |2| = 2$
  • $f(-2) = |-2| = 2$

  Burada $x_1 = 2$ ve $x_2 = -2$ farklı değerler olmasına rağmen, $f(2)$ ve $f(-2)$ aynı sonucu ($2$) vermiştir. Bu durum, fonksiyonun birebir olmadığını gösterir. Bu ifade yanlıştır.

Yukarıdaki analizlere göre, yanlış olan ifade D seçeneğidir.

Cevap D seçeneğidir.