Merhaba sevgili öğrenciler!
Bu problemde bir aracın farklı hızlarla gidip geldiği bir yolculuktaki ortalama hızını bulacağız. Ortalama hız, toplam katedilen yolun toplam geçen zamana bölünmesiyle bulunur. Hadi adım adım çözelim:
- Ortalama Hız Formülü: Ortalama hız, toplam yolun toplam zamana bölünmesiyle bulunur. Yani, $\text{Ortalama Hız} = \frac{\text{Toplam Yol}}{\text{Toplam Zaman}}$.
- Yolculuk Mesafesini Belirleyelim: A şehri ile B şehri arasındaki mesafeyi bilmiyoruz. Bu tür problemlerde, mesafeye bir değişken atayabiliriz. Mesafeye $D$ km diyelim.
- Gidiş Süresini Hesaplayalım: Araç A'dan B'ye 80 km/sa hızla gidiyor. Hız formülü $\text{Hız} = \frac{\text{Yol}}{\text{Zaman}}$ olduğundan, $\text{Zaman} = \frac{\text{Yol}}{\text{Hız}}$ olur.
- Gidiş süresi ($T_1$): $T_1 = \frac{D \text{ km}}{80 \text{ km/sa}} = \frac{D}{80}$ saat.
- Dönüş Süresini Hesaplayalım: Araç B'den A'ya 100 km/sa hızla geri dönüyor. Mesafe yine $D$ km'dir.
- Dönüş süresi ($T_2$): $T_2 = \frac{D \text{ km}}{100 \text{ km/sa}} = \frac{D}{100}$ saat.
- Toplam Katedilen Yolu Bulalım: Araç A'dan B'ye gitti ($D$ km) ve B'den A'ya geri döndü ($D$ km).
- Toplam yol: $D_{toplam} = D + D = 2D$ km.
- Toplam Geçen Zamanı Bulalım: Toplam zaman, gidiş süresi ile dönüş süresinin toplamıdır.
- Toplam zaman: $T_{toplam} = T_1 + T_2 = \frac{D}{80} + \frac{D}{100}$ saat.
- Ortalama Hızı Hesaplayalım: Şimdi bulduğumuz toplam yol ve toplam zaman değerlerini ortalama hız formülüne yerleştirelim.
- $\text{Ortalama Hız} = \frac{2D}{\frac{D}{80} + \frac{D}{100}}$
- Paydadaki ifadeyi ortak paydada toplayalım. 80 ve 100'ün en küçük ortak katı 400'dür.
- $\frac{D}{80} = \frac{D \times 5}{80 \times 5} = \frac{5D}{400}$
- $\frac{D}{100} = \frac{D \times 4}{100 \times 4} = \frac{4D}{400}$
- $\frac{5D}{400} + \frac{4D}{400} = \frac{9D}{400}$
- Şimdi bu değeri formülde yerine koyalım: $\text{Ortalama Hız} = \frac{2D}{\frac{9D}{400}}$
- Bu ifadeyi sadeleştirelim. Paydadaki kesri ters çevirip pay ile çarpabiliriz: $\text{Ortalama Hız} = 2D \times \frac{400}{9D}$
- $D$ değerleri birbirini götürür: $\text{Ortalama Hız} = 2 \times \frac{400}{9} = \frac{800}{9}$
- Sonucu Bulalım: $\frac{800}{9}$ işlemini yaparsak:
- $\frac{800}{9} \approx 88.888...$ km/sa.
- Bu değeri iki ondalık basamağa yuvarlarsak 88.89 km/sa elde ederiz.
Cevap A seçeneğidir.
