$tan(x)$ fonksiyonunun grafiği hangi aralıklarda tanımsızdır?
A) $x = k\pi$, $k \in \mathbb{Z}$Bugünkü sorumuz, trigonometrik fonksiyonlardan tanjantın hangi aralıklarda tanımsız olduğunu anlamamızı istiyor. Bu tür soruları çözmek için tanjant fonksiyonunun temel tanımını ve bir kesrin ne zaman tanımsız olduğunu hatırlamamız gerekir.
Tanjant Fonksiyonunun Tanımı: Öncelikle, $tan(x)$ fonksiyonunun sinüs ve kosinüs fonksiyonları cinsinden nasıl tanımlandığını hatırlayalım. Tanjant fonksiyonu, bir açının sinüsünün kosinüsüne oranı olarak tanımlanır:
$tan(x) = \frac{sin(x)}{cos(x)}$
Tanımsızlık Durumu: Bir kesirli ifade, paydası sıfır olduğunda tanımsız hale gelir. Bu durumda, $tan(x)$ fonksiyonunun tanımsız olması için paydasındaki $cos(x)$ ifadesinin sıfır olması gerekir.
Yani, $tan(x)$ fonksiyonu, $cos(x) = 0$ olduğu noktalarda tanımsızdır.
Kosinüsün Sıfır Olduğu Noktalar: Şimdi, kosinüs fonksiyonunun hangi açılarda sıfır olduğunu bulmamız gerekiyor. Birim çemberi veya kosinüs fonksiyonunun grafiğini düşündüğümüzde, kosinüsün sıfır olduğu temel açılar $x = \frac{\pi}{2}$ (90 derece) ve $x = \frac{3\pi}{2}$ (270 derece) dir.
Bu noktalar, periyodik olarak tekrar eder. Kosinüs fonksiyonunun periyodu $2\pi$ olmasına rağmen, $cos(x)=0$ denkleminin çözümleri $\pi$ periyodu ile tekrar eder. Yani, $\frac{\pi}{2}$'den sonraki ilk sıfır noktası $\frac{\pi}{2} + \pi = \frac{3\pi}{2}$'dir. Daha sonra $\frac{3\pi}{2} + \pi = \frac{5\pi}{2}$ gelir ve bu böyle devam eder.
Genel Çözüm Kümesi: Bu noktaları genel bir ifadeyle yazacak olursak, $cos(x) = 0$ denkleminin çözümleri şu şekildedir:
$x = \frac{\pi}{2} + k\pi$, burada $k$ bir tam sayıdır ($k \in \mathbb{Z}$).
Bu ifade, $k=0$ için $x = \frac{\pi}{2}$, $k=1$ için $x = \frac{3\pi}{2}$, $k=-1$ için $x = -\frac{\pi}{2}$ gibi tüm noktaları kapsar.
Seçeneklerin İncelenmesi: Bulduğumuz genel çözüm kümesini ($x = \frac{\pi}{2} + k\pi$) verilen seçeneklerle karşılaştıralım:
A) $x = k\pi$: Bu noktalarda $cos(x)$ değeri $1$ veya $-1$ olur, sıfır olmaz. Örneğin, $cos(0)=1$, $cos(\pi)=-1$.
B) $x = \frac{k\pi}{2}$: Bu ifade, $k$ çift sayı olduğunda $k\pi$ (örneğin $0, \pi, 2\pi$) ve $k$ tek sayı olduğunda $\frac{\pi}{2} + k\pi$ (örneğin $\frac{\pi}{2}, \frac{3\pi}{2}$) noktalarını içerir. Biz sadece $cos(x)=0$ olan noktaları arıyoruz ki bunlar sadece tek $k$ durumunda gerçekleşir.
C) $x = \frac{\pi}{2} + k\pi$: Bu ifade, $cos(x)$'in sıfır olduğu tüm noktaları tam olarak temsil eder ve bizim bulduğumuz genel çözümle aynıdır.
D) $x = \pi + k\pi$: Bu ifade aslında $x = (k+1)\pi$ demektir, yani $x = m\pi$ (m bir tam sayı) ile aynıdır. Bu da A seçeneği ile aynı durumu ifade eder ve $cos(x)$ sıfır değildir.
Bu adımları takip ettiğimizde, $tan(x)$ fonksiyonunun tanımsız olduğu aralıkların $x = \frac{\pi}{2} + k\pi$ şeklinde ifade edildiğini görürüz.
Cevap C seçeneğidir.
