$f(x) = x$ doğrusal referans fonksiyonundan türetilen $g(x) = -3f(x+1)+2$ fonksiyonunun eğimi ve y eksenini kestiği noktanın ordinatı kaçtır?
A) Eğim: $-3$, Y-kesen: $2$
B) Eğim: $-3$, Y-kesen: $-1$
C) Eğim: $3$, Y-kesen: $2$
D) Eğim: $3$, Y-kesen: $-1$
E) Eğim: $-3$, Y-kesen: $5$
Merhaba öğrenciler, bu soruyu adım adım çözerek, fonksiyon dönüşümlerinin eğim ve y-keseni üzerindeki etkilerini inceleyeceğiz.
Öncelikle, verilen fonksiyonu daha yakından inceleyelim: $g(x) = -3f(x+1) + 2$. Burada $f(x) = x$ olduğunu biliyoruz.
- Adım 1: Yatay Öteleme
- $f(x+1)$ ifadesi, $f(x)$ fonksiyonunun grafiğinin sola doğru 1 birim ötelenmiş halidir. Ancak bu öteleme eğimi değiştirmez. Sadece y-kesenini etkiler.
- Adım 2: Dikey Genişleme ve Yansıma
- $-3f(x+1)$ ifadesi, $f(x+1)$ fonksiyonunun grafiğinin y eksenine göre yansıması ve dikey olarak 3 kat genişlemesi anlamına gelir. Bu, eğimi -3 ile çarpar. Başlangıçta $f(x)$'in eğimi 1 olduğundan, yeni eğim $-3 \cdot 1 = -3$ olur.
- Adım 3: Dikey Öteleme
- $-3f(x+1) + 2$ ifadesi, $-3f(x+1)$ fonksiyonunun grafiğinin yukarı doğru 2 birim ötelenmiş halidir. Bu öteleme eğimi değiştirmez, sadece y-kesenini etkiler.
Şimdi y-kesenini bulalım. Y-keseni, $x=0$ olduğunda $g(x)$'in değeridir. Yani $g(0)$'ı bulmamız gerekiyor:
- $g(0) = -3f(0+1) + 2 = -3f(1) + 2$
- $f(1) = 1$ olduğundan, $g(0) = -3(1) + 2 = -3 + 2 = -1$
Bu durumda, $g(x)$ fonksiyonunun eğimi $-3$ ve y-keseni $-1$ olur.
Cevap B seçeneğidir.
