Merhaba sevgili öğrenciler!
Bugün sizlerle rasyonel ve irrasyonel sayılar arasındaki farkı anlamak için harika bir soru çözeceğiz. Bir sayının irrasyonel olup olmadığını anlamak için temel tanımı hatırlayalım:
- Rasyonel Sayılar: $ \frac{p}{q} $ şeklinde yazılabilen sayılardır, burada $ p $ ve $ q $ tam sayılar ve $ q \neq 0 $ olmalıdır. Ondalık gösterimleri ya sonludur ya da tekrar eden bir desene sahiptir.
- İrrasyonel Sayılar: $ \frac{p}{q} $ şeklinde yazılamayan gerçek sayılardır. Ondalık gösterimleri sonsuzdur ve tekrar eden bir desene sahip değildir.
Şimdi seçenekleri tek tek inceleyelim:
- A) $ \sqrt{16} $
- $ \sqrt{16} $ ifadesi, hangi sayının karesinin $ 16 $ olduğunu sorar. Bu sayı $ 4 $'tür.
- $ 4 $ sayısı $ \frac{4}{1} $ şeklinde yazılabilir. Yani bir tam sayı olduğu için aynı zamanda bir rasyonel sayıdır.
- B) $ 0.121212... $
- Bu sayı, ondalık kısmında "12" rakamlarının sürekli tekrar ettiği bir sayıdır.
- Tekrar eden ondalık sayılar her zaman bir kesir olarak ifade edilebilir. Örneğin, bu sayı $ \frac{12}{99} $ veya sadeleştirilmiş haliyle $ \frac{4}{33} $ olarak yazılabilir.
- Bu nedenle, $ 0.121212... $ bir rasyonel sayıdır.
- C) $ \frac{22}{7} $
- Bu sayı zaten $ \frac{p}{q} $ formunda verilmiştir, burada $ p=22 $ ve $ q=7 $ tam sayılardır ve $ q \neq 0 $'dır.
- Bu tanıma uyduğu için $ \frac{22}{7} $ bir rasyonel sayıdır. (Unutmayın, bu sayı $ \pi $ sayısının yaklaşık bir değeri olsa da, $ \frac{22}{7} $ rasyoneldir, $ \pi $ ise irrasyoneldir.)
- D) $ \sqrt{10} $
- $ 10 $ sayısı bir tam kare değildir (yani hiçbir tam sayının karesi $ 10 $ etmez, $ 3^2=9 $ ve $ 4^2=16 $).
- Bu tür, tam kare olmayan bir sayının karekökü alındığında, sonuç bir tam sayı veya basit bir kesir olarak ifade edilemez.
- $ \sqrt{10} $'un ondalık gösterimi $ 3.162277... $ şeklinde sonsuz ve tekrar etmeyen bir desene sahiptir.
- Bu nedenle, $ \sqrt{10} $ bir irrasyonel sayıdır.
- E) $ -5 $
- $ -5 $ bir tam sayıdır.
- Her tam sayı $ \frac{p}{q} $ şeklinde yazılabilir. Örneğin, $ -5 = \frac{-5}{1} $.
- Bu nedenle, $ -5 $ bir rasyonel sayıdır.
Yukarıdaki analizlerimize göre, seçenekler arasında irrasyonel olan tek sayı $ \sqrt{10} $'dur.
Cevap D seçeneğidir.
