Bu soruda, mutlak değer içeren bir fonksiyonun en küçük değerini bulmamız isteniyor. Adım adım ilerleyelim:
- Mutlak Değerin Temel Özelliği: Öncelikle, mutlak değerin en önemli özelliğini hatırlayalım. Herhangi bir gerçek sayının mutlak değeri asla negatif olamaz. Yani, $A$ gerçek bir sayı olmak üzere, $|A| \ge 0$ eşitsizliği her zaman geçerlidir. Örneğin, $|5|=5$, $|-5|=5$ ve $|0|=0$. Mutlak değerin alabileceği en küçük değer $0$'dır.
- Fonksiyonumuzdaki Mutlak Değer İfadesi: Fonksiyonumuz $f(x) = |x-3| + 2$ şeklindedir. Burada mutlak değer ifadesi $|x-3|$'tür. Yukarıdaki özelliğe göre, $|x-3| \ge 0$ olmak zorundadır.
- Mutlak Değer İfadesinin En Küçük Değeri: $|x-3|$ ifadesinin alabileceği en küçük değer $0$'dır. Bu durum, mutlak değerin içindeki ifade $0$ olduğunda gerçekleşir. Yani, $x-3 = 0$ olduğunda.
- $x$ Değerini Bulma: $x-3 = 0$ denklemini çözdüğümüzde, $x=3$ buluruz. Bu, $x=3$ iken $|x-3|$ ifadesinin $0$ olacağı anlamına gelir.
- Fonksiyonun En Küçük Değerini Hesaplama: Şimdi, $|x-3|$ ifadesinin en küçük değeri olan $0$'ı fonksiyonumuzda yerine koyalım:
$f(x) = |x-3| + 2$
$f(x) = 0 + 2$
$f(x) = 2$
Bu durumda, fonksiyonun alabileceği en küçük değer $2$'dir. Çünkü mutlak değer ifadesi $0$'dan daha küçük bir değer alamayacağı için, fonksiyona eklenen $2$ değeri de daha küçük olamaz.
Bu adımlarla, fonksiyonun en küçük değerinin $2$ olduğunu bulmuş olduk.
Cevap D seçeneğidir.
