Aşağıdaki ifadelerden hangisi daima doğrudur? A) Her tam sayı bir doğal sayıdır. B) Her rasyonel sayı bir tam sayıdır. C) Her irrasyonel sayı bir gerçek sayıdır. D) Her doğal sayı bir pozitif tam sayıdır. E) İki irrasyonel sayının toplamı daima irrasyoneldir.
A) Her tam sayı bir doğal sayıdır.Bu soruda, sayı kümeleri arasındaki ilişkileri ve sayıların özelliklerini anlamamız gerekiyor. Her bir seçeneği tek tek inceleyelim:
Tam sayılar kümesi ($\mathbb{Z}$) negatif sayıları, sıfırı ve pozitif tam sayıları içerir. Yani $\mathbb{Z} = \{..., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, ...\}$.
Doğal sayılar kümesi ($\mathbb{N}$) ise genellikle sıfırdan başlayan pozitif tam sayıları içerir. Yani $\mathbb{N} = \{0, 1, 2, 3, ...\}$.
Örneğin, $-5$ bir tam sayıdır ancak bir doğal sayı değildir. Bu nedenle bu ifade daima doğru değildir.
Rasyonel sayılar kümesi ($\mathbb{Q}$), $ rac{a}{b}$ şeklinde yazılabilen tüm sayıları içerir, burada $a$ ve $b$ birer tam sayı ve $b \neq 0$ olmalıdır.
Örneğin, $ rac{1}{2}$ bir rasyonel sayıdır ancak bir tam sayı değildir. Benzer şekilde, $0.75$ veya $ rac{3}{4}$ de rasyoneldir ama tam sayı değildir.
Bu nedenle bu ifade daima doğru değildir.
Gerçek sayılar kümesi ($\mathbb{R}$), rasyonel sayılar ($\mathbb{Q}$) ve irrasyonel sayılar ($\mathbb{I}$) kümelerinin birleşimidir. Yani $\mathbb{R} = \mathbb{Q} \cup \mathbb{I}$.
İrrasyonel sayılar, rasyonel olmayan gerçek sayılardır. Örneğin $\sqrt{2}$, $\pi$, $e$ gibi sayılar irrasyoneldir ve hepsi aynı zamanda birer gerçek sayıdır.
Tanım gereği, irrasyonel sayılar gerçek sayılar kümesinin bir alt kümesidir. Bu nedenle bu ifade daima doğrudur.
Doğal sayılar kümesi ($\mathbb{N}$) genellikle $\{0, 1, 2, 3, ...\}$ olarak tanımlanır.
Pozitif tam sayılar kümesi ($\mathbb{Z}^+$) ise $\{1, 2, 3, ...\}$ olarak tanımlanır.
Bu durumda, $0$ bir doğal sayıdır ancak bir pozitif tam sayı değildir. Bu nedenle bu ifade daima doğru değildir.
Bu ifadeye bir karşı örnek bulabiliriz.
Örneğin, $\sqrt{2}$ bir irrasyonel sayıdır. $(-\sqrt{2})$ de bir irrasyonel sayıdır.
Bu iki irrasyonel sayıyı topladığımızda: $\sqrt{2} + (-\sqrt{2}) = 0$ elde ederiz. $0$ ise bir rasyonel sayıdır (çünkü $ rac{0}{1}$ olarak yazılabilir).
Başka bir örnek: $(1 - \sqrt{2})$ bir irrasyonel sayıdır. $\sqrt{2}$ de bir irrasyonel sayıdır.
Bu iki irrasyonel sayıyı topladığımızda: $(1 - \sqrt{2}) + \sqrt{2} = 1$ elde ederiz. $1$ ise bir rasyonel sayıdır.
Bu nedenle iki irrasyonel sayının toplamı daima irrasyonel değildir.
Yukarıdaki incelemeler sonucunda, daima doğru olan ifadenin C seçeneği olduğu görülmektedir.
Cevap C seçeneğidir.
