$f(x) = x$ fonksiyonu veriliyor. $g(x) = a \cdot f(x-r) + k$ fonksiyonunun grafiği, $f(x)$'in grafiğinin x-eksenine göre yansıması alındıktan sonra 3 birim sola ve 2 birim aşağı ötelenmesiyle elde ediliyor. Buna göre $a, r, k$ değerleri sırasıyla aşağıdakilerden hangisidir?
A) $a=-1, r=-3, k=-2$
B) $a=1, r=3, k=2$
C) $a=-1, r=3, k=-2$
D) $a=1, r=-3, k=2$
E) $a=-1, r=-3, k=2$
Merhaba sevgili öğrenciler!
Bu soruda, temel bir fonksiyon olan $f(x) = x$ fonksiyonuna sırasıyla bazı dönüşümler uygulayarak yeni bir $g(x)$ fonksiyonu elde ediyoruz. Ardından bu $g(x)$ fonksiyonunun genel formu olan $g(x) = a \cdot f(x-r) + k$ ile karşılaştırarak $a, r, k$ değerlerini bulacağız. Dönüşümleri adım adım uygulayalım:
- Adım 1: x-eksenine göre yansıma
- Bir fonksiyonun grafiğinin x-eksenine göre yansıması alındığında, fonksiyonun tüm değerleri işaret değiştirir. Yani $f(x)$ yerine $-f(x)$ olur.
- Başlangıç fonksiyonumuz $f(x) = x$ idi. x-eksenine göre yansıması alındığında yeni fonksiyonumuz $h_1(x) = -f(x) = -x$ olur.
- Bu adım, genel formdaki $a$ katsayısını belirler. Eğer yansıma varsa, $a$ negatif olmalıdır. Burada $a=-1$ olduğunu düşünebiliriz.
- Adım 2: 3 birim sola öteleme
- Bir fonksiyonun grafiği 3 birim sola ötelenirse, fonksiyonun içindeki $x$ yerine $(x+3)$ yazılır.
- Önceki fonksiyonumuz $h_1(x) = -x$ idi. 3 birim sola ötelenince $h_2(x) = -(x+3)$ olur.
- Bu adım, genel formdaki $r$ değerini belirler. $f(x-r)$ ifadesinde, sola öteleme için $x$ yerine $(x+c)$ yazılır, yani $x-r = x+3$ olmalıdır. Buradan $-r = 3$ ve dolayısıyla $r = -3$ bulunur.
- Şu anki fonksiyonumuz: $h_2(x) = -x - 3$.
- Adım 3: 2 birim aşağı öteleme
- Bir fonksiyonun grafiği 2 birim aşağı ötelenirse, fonksiyonun sonuna $-2$ eklenir.
- Önceki fonksiyonumuz $h_2(x) = -x - 3$ idi. 2 birim aşağı ötelenince $g(x) = (-x - 3) - 2$ olur.
- Bu adım, genel formdaki $k$ değerini belirler. Fonksiyonun sonuna eklenen sabit terim $k$ değeridir. Buradan $k = -2$ bulunur.
- Sonuç olarak elde ettiğimiz $g(x)$ fonksiyonu: $g(x) = -x - 5$.
Şimdi elde ettiğimiz $g(x) = -x - 5$ fonksiyonunu, genel form olan $g(x) = a \cdot f(x-r) + k$ ile karşılaştıralım. Hatırlayalım ki $f(x) = x$ idi.
Yani $g(x) = a \cdot (x-r) + k$ olmalıdır.
Bizim bulduğumuz dönüşümler sonucundaki değerler:
- $a = -1$ (x-eksenine göre yansımadan dolayı)
- $r = -3$ (3 birim sola ötelemeden dolayı, $x-r = x-(-3) = x+3$)
- $k = -2$ (2 birim aşağı ötelemeden dolayı)
Bu değerleri yerine koyarsak:
$g(x) = (-1) \cdot (x - (-3)) + (-2)$
$g(x) = -1 \cdot (x+3) - 2$
$g(x) = -x - 3 - 2$
$g(x) = -x - 5$
Gördüğümüz gibi, bulduğumuz $a=-1, r=-3, k=-2$ değerleri dönüşümlerle elde ettiğimiz fonksiyonu doğru bir şekilde temsil etmektedir.
Bu değerler seçeneklere baktığımızda A seçeneğinde bulunmaktadır.
Cevap A seçeneğidir.
