Aşağıdaki ifadelerden hangisi yanlıştır?
A) İki rasyonel sayının toplamı her zaman bir rasyonel sayıdır.
B) İki irrasyonel sayının çarpımı her zaman bir irrasyonel sayıdır.
C) Bir rasyonel sayı ile bir irrasyonel sayının toplamı her zaman bir irrasyonel sayıdır.
D) Bir rasyonel sayı ile sıfırdan farklı bir irrasyonel sayının çarpımı her zaman bir irrasyonel sayıdır.
E) Gerçek sayılar kümesi, rasyonel ve irrasyonel sayıların birleşimidir.
Merhaba sevgili öğrenciler!
Bu soruda, sayı kümelerinin temel özelliklerini ve rasyonel ile irrasyonel sayılar arasındaki ilişkileri anlamamız gerekiyor. Her bir seçeneği adım adım inceleyelim ve hangisinin yanlış olduğunu bulalım.
- A) İki rasyonel sayının toplamı her zaman bir rasyonel sayıdır.
- Rasyonel sayılar, $p/q$ şeklinde yazılabilen sayılardır (burada $p$ bir tam sayı, $q$ sıfırdan farklı bir tam sayıdır).
- Örneğin, $ rac{1}{2}$ ve $ rac{1}{3}$ rasyonel sayılardır.
- Bunları toplarsak: $ rac{1}{2} + rac{1}{3} = rac{3}{6} + rac{2}{6} = rac{5}{6}$.
- $ rac{5}{6}$ da bir rasyonel sayıdır.
- Genel olarak, iki rasyonel sayı $ rac{a}{b}$ ve $ rac{c}{d}$ olsun. Toplamları $ rac{a}{b} + rac{c}{d} = rac{ad+bc}{bd}$ olur. $ad+bc$ bir tam sayı ve $bd$ sıfırdan farklı bir tam sayı olduğu için sonuç her zaman bir rasyonel sayıdır.
- Bu ifade doğrudur.
- B) İki irrasyonel sayının çarpımı her zaman bir irrasyonel sayıdır.
- İrrasyonel sayılar, $p/q$ şeklinde yazılamayan, ondalık açılımı tekrar etmeyen ve sonsuza kadar giden sayılardır (örneğin $\sqrt{2}$, $\pi$).
- Bu ifadeyi yanlış olduğunu göstermek için bir karşı örnek bulmamız yeterlidir.
- Örnek 1: $\sqrt{2}$ bir irrasyonel sayıdır. $\sqrt{2}$ ile $\sqrt{2}$'yi çarparsak: $\sqrt{2} \times \sqrt{2} = 2$.
- $2$ bir rasyonel sayıdır ($2 = rac{2}{1}$).
- Örnek 2: $(1 + \sqrt{3})$ bir irrasyonel sayıdır. $(1 - \sqrt{3})$ de bir irrasyonel sayıdır.
- Bunları çarparsak: $(1 + \sqrt{3}) \times (1 - \sqrt{3}) = 1^2 - (\sqrt{3})^2 = 1 - 3 = -2$.
- $-2$ bir rasyonel sayıdır ($-2 = rac{-2}{1}$).
- Bu örnekler, iki irrasyonel sayının çarpımının her zaman irrasyonel olmadığını, bazen rasyonel olabileceğini gösterir.
- Bu ifade yanlıştır.
- C) Bir rasyonel sayı ile bir irrasyonel sayının toplamı her zaman bir irrasyonel sayıdır.
- Varsayalım ki bir rasyonel sayı $q$ ve bir irrasyonel sayı $i$ olsun.
- Eğer $q+i$ rasyonel olsaydı, o zaman $i = (q+i) - q$ şeklinde yazılabilirdi.
- İki rasyonel sayının farkı her zaman bir rasyonel sayıdır. Bu durumda $i$ de rasyonel olmak zorunda kalırdı ki bu, $i$'nin irrasyonel olduğu varsayımıyla çelişir.
- Örnek: $5$ (rasyonel) + $\sqrt{7}$ (irrasyonel) = $5 + \sqrt{7}$ (irrasyonel).
- Bu ifade doğrudur.
- D) Bir rasyonel sayı ile sıfırdan farklı bir irrasyonel sayının çarpımı her zaman bir irrasyonel sayıdır.
- Burada rasyonel sayının sıfır olmadığı varsayılır. (Eğer rasyonel sayı sıfır olsaydı, $0 \times \text{irrasyonel} = 0$ olurdu ki $0$ bir rasyonel sayıdır. Ancak matematiksel özelliklerde genellikle bu durum dışarıda bırakılır veya rasyonel sayının da sıfırdan farklı olduğu belirtilir.)
- Varsayalım ki sıfırdan farklı bir rasyonel sayı $q$ ve sıfırdan farklı bir irrasyonel sayı $i$ olsun.
- Eğer $q \times i$ rasyonel olsaydı, o zaman $i = (q \times i) / q$ şeklinde yazılabilirdi.
- İki rasyonel sayının bölümü (bölen sıfırdan farklı olmak koşuluyla) her zaman bir rasyonel sayıdır. Bu durumda $i$ de rasyonel olmak zorunda kalırdı ki bu, $i$'nin irrasyonel olduğu varsayımıyla çelişir.
- Örnek: $ rac{3}{4}$ (rasyonel) $\times$ $\pi$ (irrasyonel) = $ rac{3\pi}{4}$ (irrasyonel).
- Bu ifade doğrudur.
- E) Gerçek sayılar kümesi, rasyonel ve irrasyonel sayıların birleşimidir.
- Gerçek sayılar kümesi ($\mathbb{R}$), sayı doğrusu üzerindeki tüm noktaları temsil eden sayılardan oluşur.
- Bu sayılar ya rasyoneldir (kesir olarak ifade edilebilir) ya da irrasyoneldir (kesir olarak ifade edilemez).
- Rasyonel sayılar kümesi ($\mathbb{Q}$) ve irrasyonel sayılar kümesi ($\mathbb{Q}'$ veya $\mathbb{I}$) ayrık kümelerdir ve birleşimleri gerçek sayılar kümesini oluşturur. Yani $\mathbb{R} = \mathbb{Q} \cup \mathbb{Q}'$.
- Bu ifade doğrudur.
Yukarıdaki analizler sonucunda, yanlış olan ifadenin B seçeneği olduğu açıkça görülmektedir.
Cevap B seçeneğidir.
