9. sınıf matematik 1. dönem 2. yazılı 2. senaryo Test 5

$ |2x-6| = x+3 $ denklemini sağlayan $ x $ değerlerinin toplamı kaçtır?

A) 3
B) 6
C) 9
D) 12
E) 15

Merhaba sevgili öğrenciler!

Bugün, mutlak değer içeren bir denklemi adım adım nasıl çözeceğimizi ve denklemi sağlayan $x$ değerlerinin toplamını nasıl bulacağımızı öğreneceğiz. Mutlak değer denklemleri, dikkatli bir şekilde incelenmesi gereken özel durumlara sahiptir.

Denklemimiz: $ |2x-6| = x+3 $

Mutlak değer içeren denklemleri çözerken dikkat etmemiz gereken iki temel nokta vardır:

• Mutlak değerin içindeki ifade pozitif veya negatif olabilir, bu yüzden iki farklı durum incelemeliyiz.
• Mutlak değerin sonucu asla negatif olamaz. Bu nedenle, denklemin sağ tarafındaki ifade ($x+3$) sıfıra eşit veya sıfırdan büyük olmalıdır. Bu, bulduğumuz çözümler için bir kontrol mekanizmasıdır.

Şimdi denklemi adım adım çözelim:

• 1. Adım: Denklemin sağ tarafındaki ifadenin sıfırdan büyük veya eşit olma koşulunu belirleyelim.

  Mutlak değerin sonucu negatif olamayacağından, denklemin sağ tarafı olan $x+3$ ifadesi sıfırdan büyük veya eşit olmalıdır. Yani, $x+3 \ge 0$ olmalıdır. Bu eşitsizliği çözdüğümüzde, $x \ge -3$ koşulunu elde ederiz. Bulduğumuz tüm $x$ değerlerinin bu koşulu sağlayıp sağlamadığını kontrol etmeyi unutmayalım.

• 2. Adım: Mutlak değerin içindeki ifadenin pozitif veya negatif olma durumlarına göre denklemi iki ayrı denklem olarak çözelim.

  Durum 1: Mutlak değerin içindeki ifade pozitif veya sıfır ise ($2x-6 \ge 0$).

  Bu durumda, $2x-6 \ge 0$ eşitsizliğini çözdüğümüzde $2x \ge 6 \implies x \ge 3$ koşulunu buluruz. Bu koşul altında, mutlak değer olduğu gibi çıkar ve denklem $2x-6 = x+3$ şeklini alır. Şimdi bu denklemi çözelim:

  $2x - x = 3 + 6$

  $x = 9$

  Şimdi bu çözümün geçerliliğini kontrol edelim: Hem genel koşulumuz olan $x \ge -3$ ($9 \ge -3$) hem de bu duruma özel koşulumuz olan $x \ge 3$ ($9 \ge 3$) sağlanmaktadır. Bu nedenle, $x=9$ geçerli bir çözümdür.

  Durum 2: Mutlak değerin içindeki ifade negatif ise ($2x-6 < 0$).

  Bu durumda, $2x-6 < 0$ eşitsizliğini çözdüğümüzde $2x < 6 \implies x < 3$ koşulunu buluruz. Bu koşul altında, mutlak değerin içindeki ifade eksi ile çarpılarak dışarı çıkar ve denklem $-(2x-6) = x+3$ şeklini alır. Şimdi bu denklemi çözelim:

  $-2x+6 = x+3$

  $6 - 3 = x + 2x$

  $3 = 3x$

  $x = 1$

  Şimdi bu çözümün geçerliliğini kontrol edelim: Hem genel koşulumuz olan $x \ge -3$ ($1 \ge -3$) hem de bu duruma özel koşulumuz olan $x < 3$ ($1 < 3$) sağlanmaktadır. Bu nedenle, $x=1$ geçerli bir çözümdür.

• 3. Adım: Geçerli $x$ değerlerini toplayalım.

  Denklemi sağlayan geçerli $x$ değerleri $x=9$ ve $x=1$'dir. Bu değerlerin toplamı:

  $9 + 1 = 10$

Denklemi sağlayan $x$ değerlerinin toplamı $10$'dur.

Cevap D seçeneğidir.