9. sınıf matematik 1. dönem 2. yazılı 1. senaryo Test 5

$A = [-3, 5)$ ve $B = (2, 7]$ aralıkları veriliyor. $A \cap B$ kümesi aşağıdakilerden hangisidir?

A) $(2, 5)$
B) $[-3, 7]$
C) $[2, 5)$
D) $(-3, 7]$
E) $[2, 5]$

Bu soruda, iki farklı aralığın kesişimini bulmamız isteniyor. Kesişim, her iki aralıkta da bulunan elemanların oluşturduğu kümedir. Adım adım ilerleyelim:

• Verilen Aralıkları Anlayalım:

  İlk aralığımız $A = [-3, 5)$ şeklinde verilmiş. Bu, $-3$ sayısının dahil olduğu (köşeli parantez) ve $5$ sayısının dahil olmadığı (normal parantez) tüm gerçek sayıları ifade eder. Yani, $x$ bir eleman ise, $-3 \le x < 5$ koşulunu sağlamalıdır.

  İkinci aralığımız $B = (2, 7]$ şeklinde verilmiş. Bu, $2$ sayısının dahil olmadığı (normal parantez) ve $7$ sayısının dahil olduğu (köşeli parantez) tüm gerçek sayıları ifade eder. Yani, $x$ bir eleman ise, $2 < x \le 7$ koşulunu sağlamalıdır.

• Kesişim Kümesini Bulmak İçin Koşulları Birleştirelim:

  Bir sayının $A \cap B$ kümesinde olması için hem $A$ kümesinin hem de $B$ kümesinin elemanı olması gerekir. Bu durumda, $x$ sayısı aşağıdaki iki koşulu aynı anda sağlamalıdır:

  A kümesinden gelen koşul: $-3 \le x < 5$

  B kümesinden gelen koşul: $2 < x \le 7$

• Alt Sınırları Belirleyelim:

  Aralığın alt sınırı için $x$ sayısı hem $-3$'ten büyük veya eşit ($x \ge -3$) hem de $2$'den büyük ($x > 2$) olmalıdır. Bu iki koşulun aynı anda sağlanması için $x$'in $2$'den büyük olması gerekir. Çünkü $x > 2$ koşulunu sağlayan her sayı zaten $x \ge -3$ koşulunu da sağlar. Dolayısıyla, kesişim aralığımızın alt sınırı $2$ ve bu sınır dahil değildir (açık aralık).

  Yani, $x > 2$.

• Üst Sınırları Belirleyelim:

  Aralığın üst sınırı için $x$ sayısı hem $5$'ten küçük ($x < 5$) hem de $7$'den küçük veya eşit ($x \le 7$) olmalıdır. Bu iki koşulun aynı anda sağlanması için $x$'in $5$'ten küçük olması gerekir. Çünkü $x < 5$ koşulunu sağlayan her sayı zaten $x \le 7$ koşulunu da sağlar. Dolayısıyla, kesişim aralığımızın üst sınırı $5$ ve bu sınır dahil değildir (açık aralık).

  Yani, $x < 5$.

• Kesişim Kümesini Oluşturalım:

  Yukarıdaki alt ve üst sınır koşullarını birleştirdiğimizde, $x$ sayısı $2$'den büyük ve $5$'ten küçük olmalıdır. Bu durumu matematiksel olarak $2 < x < 5$ şeklinde ifade ederiz.

  Bu eşitsizlik, aralık gösterimiyle $(2, 5)$ şeklinde yazılır.

Bu sonuç, seçenekler arasında A seçeneğinde verilmiştir.

Cevap A seçeneğidir.