🎓 8. sınıf matematik 1. dönem 2. yazılı 4. senaryo Test 1 - Ders Notu
Merhaba sevgili öğrenciler! Bu ders notu, 8. sınıf matematik 1. dönem 2. yazılı sınavında karşılaşabileceğiniz temel konuları sade ve anlaşılır bir dille özetlemek için hazırlandı. Üslü ve kareköklü ifadeler, gerçek sayılar, cebirsel ifadeler ve çarpanlara ayırma gibi konulara odaklanacağız.
📌 Üslü İfadeler
Üslü ifadeler, bir sayının kendisiyle tekrarlı çarpımının kısa yoldan gösterimidir. Temel kuralları iyi bilmek, bu konudaki soruları kolayca çözmenizi sağlar.
- Tanım: $a^n$ ifadesi, $a$ sayısının kendisiyle $n$ defa çarpılması anlamına gelir ($a \cdot a \cdot ... \cdot a$ - $n$ tane). Burada $a$ taban, $n$ ise üsttür.
- Negatif Üs: Bir sayının negatif üssü, o sayının çarpmaya göre tersini ifade eder. Yani, $a^{-n} = \frac{1}{a^n}$'dir. (Örn: $2^{-3} = \frac{1}{2^3} = \frac{1}{8}$)
- Sıfır Üs: Sıfır hariç her sayının sıfırıncı kuvveti 1'dir. Yani, $a^0 = 1$ ($a \neq 0$).
- Üslü Sayılarda Çarpma: Tabanlar aynıysa üsler toplanır ($a^m \cdot a^n = a^{m+n}$). Üsler aynıysa tabanlar çarpılır ($a^n \cdot b^n = (a \cdot b)^n$).
- Üslü Sayılarda Bölme: Tabanlar aynıysa üsler çıkarılır ($\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$). Üsler aynıysa tabanlar bölünür ($\frac{a^n}{b^n} = (\frac{a}{b})^n$).
- Üssün Üssü: Bir üslü ifadenin tekrar üssü alındığında üsler çarpılır ($(a^m)^n = a^{m \cdot n}$).
💡 İpucu: Büyük sayıları bilimsel gösterimle yazarken, sayıyı 1 ile 10 arasında bir sayı ve 10'un kuvveti şeklinde ifade ettiğinizi unutmayın. Örn: $345.000.000 = 3,45 \times 10^8$.
📌 Kareköklü İfadeler
Kareköklü ifadeler, hangi sayının karesinin verildiği sayıyı verdiğini bulma işlemidir. Özellikle tam kare sayıları tanımak işinizi kolaylaştırır.
- Tanım: Bir sayının karekökü, karesi o sayıya eşit olan pozitif sayıdır. $\sqrt{a}$ şeklinde gösterilir. (Örn: $\sqrt{25} = 5$ çünkü $5^2 = 25$).
- Tam Kare Sayılar: Bir sayının karesi olan sayılardır (1, 4, 9, 16, 25, 36, ...). Bu sayıların karekökleri birer tam sayıdır.
- Kök Dışına Çıkarma: Karekök içindeki sayıyı $a^2 \cdot b$ şeklinde yazabiliyorsak, $a^2$ kök dışına $a$ olarak çıkar. Yani, $\sqrt{a^2 b} = a\sqrt{b}$'dir. (Örn: $\sqrt{72} = \sqrt{36 \cdot 2} = 6\sqrt{2}$)
- Kök İçine Alma: Kök dışındaki bir sayıyı kök içine alırken karesini alarak içeri yazarız. Yani, $a\sqrt{b} = \sqrt{a^2 \cdot b}$'dir. (Örn: $3\sqrt{5} = \sqrt{3^2 \cdot 5} = \sqrt{9 \cdot 5} = \sqrt{45}$)
- Kareköklü Sayılarda Çarpma: Kök içindeki sayılar kendi aralarında, kök dışındaki sayılar kendi aralarında çarpılır. $\sqrt{a} \cdot \sqrt{b} = \sqrt{a \cdot b}$ ve $x\sqrt{a} \cdot y\sqrt{b} = xy\sqrt{a \cdot b}$.
- Kareköklü Sayılarda Bölme: Kök içindeki sayılar kendi aralarında, kök dışındaki sayılar kendi aralarında bölünür. $\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}} = \sqrt{\frac{a}{b}}$ ve $\frac{x\sqrt{a}}{y\sqrt{b}} = \frac{x}{y}\sqrt{\frac{a}{b}}$.
- Kareköklü Sayılarda Toplama ve Çıkarma: Sadece kök içleri aynı olan ifadeler toplanıp çıkarılabilir. Kök dışındaki katsayılar toplanır/çıkarılır, kök içi aynı kalır. $a\sqrt{x} \pm b\sqrt{x} = (a \pm b)\sqrt{x}$.
⚠️ Dikkat: $\sqrt{a} + \sqrt{b} \neq \sqrt{a+b}$ ve $\sqrt{a} - \sqrt{b} \neq \sqrt{a-b}$! Kök içleri farklıysa toplama veya çıkarma yapamazsınız.
📌 Gerçek Sayılar (Reel Sayılar)
Sayı kümeleri, matematiksel ifadeleri daha iyi anlamamızı sağlar. Gerçek sayılar, öğrendiğimiz tüm sayıları kapsayan en geniş kümedir.
- Doğal Sayılar ($\mathbb{N}$): Sayma sayıları ve sıfırdan oluşan küme. $\{0, 1, 2, 3, ...\}$
- Tam Sayılar ($\mathbb{Z}$): Doğal sayılar ve negatif tam sayılardan oluşan küme. $\{..., -2, -1, 0, 1, 2, ...\}$
- Rasyonel Sayılar ($\mathbb{Q}$): $a$ bir tam sayı ve $b$ sıfırdan farklı bir tam sayı olmak üzere, $\frac{a}{b}$ şeklinde yazılabilen sayılardır. Ondalık gösterimi ya sonlu ya da devirli (tekrarlı) olan sayılardır. (Örn: $0.5 = \frac{1}{2}$, $0.333... = \frac{1}{3}$)
- İrrasyonel Sayılar ($\mathbb{I}$): Rasyonel olmayan sayılardır. $\frac{a}{b}$ şeklinde yazılamayan, ondalık gösterimi devirli olmayan ve sonsuza kadar giden sayılardır. (Örn: $\sqrt{2}$, $\pi$, $\sqrt{7}$)
- Gerçek (Reel) Sayılar ($\mathbb{R}$): Rasyonel sayılar kümesi ile irrasyonel sayılar kümesinin birleşimidir. Sayı doğrusundaki tüm noktalar bir gerçek sayıyı temsil eder.
💡 İpucu: Bir sayının rasyonel mi irrasyonel mi olduğunu anlamak için, karekök dışına tam olarak çıkıp çıkmadığına veya devirli olup olmadığına bakabilirsiniz. $\sqrt{49}$ rasyoneldir (7), $\sqrt{50}$ irrasyoneldir ($5\sqrt{2}$).
📌 Cebirsel İfadeler ve Özdeşlikler
Cebirsel ifadeler, içinde en az bir değişken (bilinmeyen) ve işlem içeren matematiksel ifadelerdir. Özdeşlikler ise değişkenin her değeri için doğru olan eşitliklerdir.
- Cebirsel İfade: Değişken, sabit terim, katsayı ve terim gibi bileşenleri olan ifadelerdir. (Örn: $3x^2 - 5x + 7$)
- Özdeşlik: Değişkenin yerine hangi sayı yazılırsa yazılsın doğru olan eşitliklerdir. (Örn: $(x+y)^2 = x^2 + 2xy + y^2$)
- İki Terim Toplamının Karesi: $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$ (Birincinin karesi, birinci ile ikincinin çarpımının iki katı, ikincinin karesi)
- İki Terim Farkının Karesi: $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$ (Birincinin karesi, birinci ile ikincinin çarpımının iki katının eksilisi, ikincinin karesi)
- İki Kare Farkı Özdeşliği: $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$ (Birinci terimin karesinden ikinci terimin karesi çıkarıldığında, bu terimlerin farkı ile toplamının çarpımına eşittir.)
⚠️ Dikkat: $(a+b)^2$ ifadesi $a^2+b^2$ demek değildir! Ortadaki $2ab$ terimini unutmayın.
📌 Çarpanlara Ayırma
Çarpanlara ayırma, bir cebirsel ifadeyi iki veya daha fazla cebirsel ifadenin çarpımı şeklinde yazma işlemidir. Bu, denklemleri çözmede veya ifadeleri sadeleştirmede çok işe yarar.
- Ortak Çarpan Parantezine Alma: Bir ifadedeki tüm terimlerde ortak olan çarpanı belirleyip parantez dışına yazmaktır. (Örn: $3x+6 = 3(x+2)$, $ax^2 + bx = x(ax+b)$)
- Özdeşliklerden Yararlanma: Yukarıda öğrendiğimiz özdeşliklerin (iki kare farkı, tam kare ifadeler) tersini kullanarak ifadeyi çarpanlarına ayırmaktır.
- $x^2 - 9 = (x-3)(x+3)$ (İki Kare Farkı)
- $x^2 + 6x + 9 = (x+3)^2$ (Tam Kare İfade)
- Gruplandırarak Çarpanlara Ayırma: Dört veya daha fazla terimli ifadelerde, terimleri gruplara ayırarak her grupta ortak çarpan bulup ifadeyi çarpanlarına ayırmaktır. (Örn: $ax+ay+bx+by = a(x+y)+b(x+y) = (x+y)(a+b)$)
💡 İpucu: Bir ifadeyi çarpanlarına ayırdıktan sonra, bulduğunuz çarpanları tekrar çarparak orijinal ifadeyi elde edip etmediğinizi kontrol edin. Bu, doğru yolda olup olmadığınızı anlamanın en iyi yoludur.
