Köklü sayılarda çarpma nasıl yapılır

Question

Köklü sayıları çarparken kök içleri çarpılıyor ama aynı kök derecesine sahip olmaları gerekiyor sanırım. Kök dışındaki katsayıları nasıl çarpacağımı tam olarak anlayamadım, kafam karışıyor.

Answer 1

Köklü Sayılarda Çarpma İşlemi

Köklü sayılarla çarpma işlemi yaparken dikkat etmemiz gereken bazı kurallar vardır. Bu kuralları öğrendiğimizde köklü sayılarla çarpma işlemini kolayca yapabiliriz.

1. Aynı Kök Derecesine Sahip Köklü Sayılarda Çarpma

Eğer çarpacağımız köklü sayıların kök dereceleri aynı ise, kök içindeki sayıları çarparız ve sonucu aynı kök içine yazarız.

Matematiksel ifadeyle:

\( \sqrt[a]{x} \cdot \sqrt[a]{y} = \sqrt[a]{x \cdot y} \)

Örnek 1:

\( \sqrt{5} \cdot \sqrt{3} = \sqrt{5 \cdot 3} = \sqrt{15} \)

Örnek 2:

\( \sqrt[3]{2} \cdot \sqrt[3]{7} = \sqrt[3]{2 \cdot 7} = \sqrt[3]{14} \)

Örnek 3:

\( 2\sqrt{6} \cdot 3\sqrt{2} = (2 \cdot 3)\sqrt{6 \cdot 2} = 6\sqrt{12} \)

Burada kök dışındaki katsayıları da kendi aralarında çarpmayı unutmayalım.

2. Farklı Kök Derecelerine Sahip Köklü Sayılarda Çarpma

Eğer kök dereceleri farklı ise, önce kök derecelerini eşitlememiz gerekir. Bunun için kok derecelerinin en küçük ortak katını (EKOK) buluruz.

Örnek:

\( \sqrt{2} \cdot \sqrt[3]{4} \) işlemini yapalım.

• Kök dereceleri 2 ve 3'tür. EKOK(2,3) = 6
• \( \sqrt{2} = \sqrt[6]{2^3} = \sqrt[6]{8} \)
• \( \sqrt[3]{4} = \sqrt[3]{2^2} = \sqrt[6]{(2^2)^2} = \sqrt[6]{2^4} = \sqrt[6]{16} \)
• Şimdi çarpma işlemini yapabiliriz: \( \sqrt[6]{8} \cdot \sqrt[6]{16} = \sqrt[6]{8 \cdot 16} = \sqrt[6]{128} \)

3. Köklü Sayılarla Çarpma İşleminde Sadeleştirme

Çarpma işlemi sonucunda elde ettiğimiz ifadeyi sadeleştirmeyi unutmamalıyız. Kök içindeki sayıyı, bir tam kare sayı ile çarpım şeklinde yazabilirsek, kök dışına çıkarabiliriz.

Örnek:

\( \sqrt{12} \cdot \sqrt{3} = \sqrt{36} = 6 \)

Veya daha karmaşık bir örnek:

\( 2\sqrt{8} \cdot 3\sqrt{6} = 6\sqrt{48} = 6\sqrt{16 \cdot 3} = 6 \cdot 4\sqrt{3} = 24\sqrt{3} \)

Önemli Kurallar

• Kök dereceleri aynı ise, kök içleri çarpılır.
• Katsayılar kendi aralarında çarpılır.
• Kök dereceleri farklı ise, önce kök dereceleri eşitlenir.
• Sonuç mümkün olduğunca sadeleştirilir.

Bu kuralları uygulayarak her türlü köklü sayı çarpma işlemini yapabilirsiniz. Bol bol pratik yapmak, konuyu daha iyi anlamanızı sağlayacaktır.