Aritmetik ortalama ve geometrik ortalama arasındaki fark Test 1

Bir bahçede dört farklı ağacın boyları 2 m, 4 m, 8 m ve 16 m'dir. Bu boyların aritmetik ortalaması ile geometrik ortalaması arasındaki fark kaçtır?

A) 3.25
B) 4.50
C) 5.75
D) 7.00

Bu soruda, verilen dört ağacın boylarının aritmetik ortalamasını ve geometrik ortalamasını hesaplayıp aralarındaki farkı bulacağız. Adım adım ilerleyelim:

• 1. Adım: Ağaç Boylarını Belirleyelim
• Verilen ağaç boyları: $2 \text{ m}$, $4 \text{ m}$, $8 \text{ m}$ ve $16 \text{ m}$'dir. Bu sayılar bir geometrik dizi oluşturmaktadır ($2^1, 2^2, 2^3, 2^4$).
• 2. Adım: Aritmetik Ortalama (AO) Hesaplayalım
• Aritmetik ortalama, bir veri grubundaki tüm sayıların toplamının, veri adedine bölünmesiyle bulunur. Dört ağaç olduğu için veri adedi $4$'tür.
• $AO = \frac{\text{Sayıların Toplamı}}{\text{Sayı Adedi}}$
• $AO = \frac{2 + 4 + 8 + 16}{4}$
• $AO = \frac{30}{4}$
• $AO = 7.5$
• Ağaç boylarının aritmetik ortalaması $7.5 \text{ m}$'dir.
• 3. Adım: Geometrik Ortalama (GO) Hesaplayalım
• Geometrik ortalama, bir veri grubundaki tüm sayıların çarpımının, veri adedi kadar kökünün alınmasıyla bulunur. Dört ağaç olduğu için dördüncü dereceden kök alacağız.
• $GO = \sqrt[4]{2 \cdot 4 \cdot 8 \cdot 16}$
• Sayıları üslü ifade olarak yazarsak: $2 = 2^1$, $4 = 2^2$, $8 = 2^3$, $16 = 2^4$.
• $GO = \sqrt[4]{2^1 \cdot 2^2 \cdot 2^3 \cdot 2^4}$
• Üslü sayılarda çarpma işlemi yaparken tabanlar aynıysa üsler toplanır: $1+2+3+4 = 10$.
• $GO = \sqrt[4]{2^{10}}$
• Kök dışına çıkarmak için üssü kök derecesine böleriz: $GO = 2^{\frac{10}{4}} = 2^{\frac{5}{2}}$
• $2^{\frac{5}{2}}$ ifadesini $2^{2.5}$ olarak yazabiliriz. Bu da $2^2 \cdot 2^{0.5}$ anlamına gelir.
• $GO = 4 \cdot \sqrt{2}$
• $\sqrt{2}$ sayısının yaklaşık değeri $1.41421356$'dır.
• $GO \approx 4 \cdot 1.41421356$
• $GO \approx 5.65685424$
• Ağaç boylarının geometrik ortalaması yaklaşık $5.66 \text{ m}$'dir.
• 4. Adım: Aritmetik Ortalama ile Geometrik Ortalama Arasındaki Farkı Bulalım
• Fark = $AO - GO$
• Fark = $7.5 - 4\sqrt{2}$
• Fark $\approx 7.5 - 5.65685424$
• Fark $\approx 1.84314576$

Cevap C seçeneğidir