Aritmetik ortalama ve geometrik ortalama arasındaki fark Test 1

x ve y pozitif gerçek sayılar olmak üzere, $x = 9$ ve $y = 16$ veriliyor. Buna göre bu iki sayının aritmetik ortalaması ile geometrik ortalaması arasındaki fark kaçtır?

A) 0.5
B) 1
C) 1.5
D) 2

Merhaba sevgili öğrenciler! Bu soruda, verilen iki pozitif gerçek sayının aritmetik ortalaması ile geometrik ortalaması arasındaki farkı bulacağız. Adım adım ilerleyelim:

• 1. Adım: Aritmetik Ortalamayı (AO) Bulalım

  İki sayının aritmetik ortalaması, sayıların toplamının 2'ye bölünmesiyle bulunur. Formülü $AO = \frac{x+y}{2}$ şeklindedir.

  Verilen sayılar $x = 9$ ve $y = 16$ olduğuna göre:

  • $AO = \frac{9+16}{2}$
  • $AO = \frac{25}{2}$
  • $AO = 12.5$

  Aritmetik ortalamamız $12.5$ olarak bulundu.

• 2. Adım: Geometrik Ortalamayı (GO) Bulalım

  İki pozitif sayının geometrik ortalaması, sayıların çarpımının karekökü alınarak bulunur. Formülü $GO = \sqrt{xy}$ şeklindedir.

  Verilen sayılar $x = 9$ ve $y = 16$ olduğuna göre:

  • $GO = \sqrt{9 \times 16}$
  • $GO = \sqrt{144}$
  • $GO = 12$

  Geometrik ortalamamız $12$ olarak bulundu.

• 3. Adım: Aritmetik Ortalama ile Geometrik Ortalama Arasındaki Farkı Bulalım

  Şimdi bulduğumuz aritmetik ortalama ve geometrik ortalama değerlerini kullanarak aralarındaki farkı hesaplayalım. Fark, $AO - GO$ şeklinde bulunur.

  • Fark $= 12.5 - 12$
  • Fark $= 0.5$

  Buna göre, bu iki sayının aritmetik ortalaması ile geometrik ortalaması arasındaki fark $0.5$'tir.

Cevap A seçeneğidir.