Aşağıdakilerden hangisi bir fonksiyon değildir?
A) $y = x^2 + 1$Bir ilişkinin fonksiyon olabilmesi için, tanım kümesindeki her bir giriş (genellikle $x$ değeri) için değer kümesinde yalnızca bir tane çıkış (genellikle $y$ değeri) olması gerekir. Başka bir deyişle, aynı $x$ değeri için birden fazla $y$ değeri olamaz. Bunu grafik üzerinde kontrol etmenin kolay bir yolu "Dikey Doğru Testi"dir: Eğer dikey bir doğru, grafiği birden fazla noktada kesiyorsa, o ilişki bir fonksiyon değildir.
Bu bir parabol denklemidir. Herhangi bir $x$ değeri için, $x^2$ değeri tek bir sonuç verir ve dolayısıyla $x^2 + 1$ de tek bir $y$ değeri verir. Örneğin, $x=1$ için $y = 1^2 + 1 = 2$ ve $x=-1$ için $y = (-1)^2 + 1 = 2$. Her $x$ değeri için yalnızca bir $y$ değeri vardır. Bu bir fonksiyondur.
Bu, merkezi orijinde $(0,0)$ olan ve yarıçapı $2$ birim olan bir çemberin denklemidir. Bir $x$ değeri için birden fazla $y$ değeri olup olmadığını kontrol edelim:
Denklemden $y^2 = 4 - x^2$ ve dolayısıyla $y = \pm\sqrt{4 - x^2}$ elde ederiz.
Örneğin, $x=0$ için $y = \pm\sqrt{4 - 0^2} = \pm\sqrt{4} = \pm 2$. Yani, $x=0$ girişine karşılık $y=2$ ve $y=-2$ olmak üzere iki farklı çıkış değeri vardır. Bu durum, fonksiyon tanımına aykırıdır (her giriş için tek bir çıkış olmalı). Grafiği Dikey Doğru Testi'ni geçemez. Bu bir fonksiyon değildir.
Bu bir trigonometrik fonksiyondur. Her $x$ açısı için $\sin(x)$ değeri tek ve belirli bir değerdir. Grafiği (sinüs dalgası) Dikey Doğru Testi'ni geçer. Bu bir fonksiyondur.
Bu bir üstel fonksiyondur. Her $x$ değeri için $e^x$ değeri tek ve pozitiftir. Grafiği Dikey Doğru Testi'ni geçer. Bu bir fonksiyondur.
Bu bir logaritma fonksiyonudur. Tanım kümesi $x > 0$ şeklindedir. Bu tanım kümesindeki her $x$ değeri için $\ln(x)$ değeri tek ve belirli bir değerdir. Grafiği Dikey Doğru Testi'ni geçer. Bu bir fonksiyondur.
Yukarıdaki analizlere göre, $x^2 + y^2 = 4$ denklemi bir fonksiyon değildir çünkü aynı $x$ değeri için birden fazla $y$ değeri alabilir.
Cevap B seçeneğidir.
