$f(x) = \frac{2x + 1}{x - 3}$ fonksiyonunun tersi $f^{-1}(x)$ nedir?
A) $\frac{x - 3}{2x + 1}$Merhaba sevgili öğrenciler! Bir fonksiyonun tersini bulmak, aslında o fonksiyonun yaptığı işlemi "geri almak" gibidir. Yani, bir $x$ değerini alıp bir $y$ değeri üreten bir fonksiyonun tersi, o $y$ değerini alıp tekrar başlangıçtaki $x$ değerine döndürür. Bu işlemi adım adım nasıl yapacağımızı görelim:
Öncelikle, verilen $f(x)$ fonksiyonunu $y$ olarak ifade edelim. Bu, matematiksel işlemleri yaparken bize kolaylık sağlar:
$y = \frac{2x + 1}{x - 3}$
Bir fonksiyonun tersini bulmanın temel adımı, $x$ ve $y$ değişkenlerinin yerlerini değiştirmektir. Bu, fonksiyonun giriş ve çıkış değerlerinin rollerini değiştirdiğimiz anlamına gelir:
$x = \frac{2y + 1}{y - 3}$
Şimdi amacımız, bu yeni denklemde $y$'yi yalnız bırakmaktır. $y$'yi yalnız bıraktığımızda bulduğumuz ifade, fonksiyonumuzun tersi olan $f^{-1}(x)$ olacaktır. Denklemi çözmeye başlayalım:
Önce paydadaki $(y - 3)$ ifadesini eşitliğin diğer tarafına çarpım olarak geçirelim. Böylece kesirden kurtulmuş oluruz:
$x(y - 3) = 2y + 1$
$x$'i parantez içine dağıtalım:
$xy - 3x = 2y + 1$
$y$ içeren terimleri eşitliğin bir tarafına, diğer terimleri ise diğer tarafına toplayalım. Genellikle $y$ içeren terimleri sol tarafa almak işimizi kolaylaştırır. Bunun için $2y$'yi sol tarafa, $-3x$'i sağ tarafa atalım:
$xy - 2y = 3x + 1$
Şimdi sol taraftaki $y$ terimlerini ortak çarpan parantezine alalım. Bu, $y$'yi yalnız bırakma yolunda önemli bir adımdır:
$y(x - 2) = 3x + 1$
Son olarak, $y$'yi tamamen yalnız bırakmak için $(x - 2)$ ifadesini eşitliğin diğer tarafına bölüm olarak geçirelim:
$y = \frac{3x + 1}{x - 2}$
Böylece, $y$ için bulduğumuz bu ifade, başlangıçtaki fonksiyonumuzun tersi olan $f^{-1}(x)$'tir:
$f^{-1}(x) = \frac{3x + 1}{x - 2}$
Şimdi bulduğumuz bu sonucu seçeneklerle karşılaştıralım. Görüyoruz ki, bulduğumuz ifade B seçeneğindeki ifade ile aynıdır.
Cevap B seçeneğidir.
