$\sin(x) = \frac{1}{2}$ denkleminin $[0, 2\pi]$ aralığındaki çözüm kümesi nedir?
A) $\left\{\frac{\pi}{6}, \frac{5\pi}{6}\right\}$
B) $\left\{\frac{\pi}{3}, \frac{2\pi}{3}\right\}$
C) $\left\{\frac{\pi}{6}, \frac{7\pi}{6}\right\}$
D) $\left\{\frac{\pi}{3}, \frac{4\pi}{3}\right\}$
E) $\left\{\frac{\pi}{4}, \frac{3\pi}{4}\right\}$
Merhaba sevgili öğrenciler,
Bu soruda, $\sin(x) = \frac{1}{2}$ denkleminin $[0, 2\pi]$ aralığındaki çözüm kümesini bulmamız isteniyor. Adım adım ilerleyelim:
- Öncelikle, sinüs değeri $\frac{1}{2}$ olan temel açıyı (referans açıyı) bulalım. Birim çember üzerinde veya özel üçgenleri hatırlayarak, $\sin(\frac{\pi}{6}) = \frac{1}{2}$ olduğunu biliyoruz. Yani, $30^\circ$ derecenin sinüsü $\frac{1}{2}$'dir. Bu bizim ilk çözümümüz ve aynı zamanda referans açımızdır: $x_1 = \frac{\pi}{6}$.
- Şimdi, sinüs fonksiyonunun hangi bölgelerde (kuadrantlarda) pozitif olduğunu hatırlayalım. Sinüs fonksiyonu 1. ve 2. bölgelerde pozitiftir.
- İlk çözümümüz olan $x_1 = \frac{\pi}{6}$ zaten 1. bölgededir ve $[0, 2\pi]$ aralığındadır.
- İkinci bölgedeki açıyı bulmak için $\pi$ (veya $180^\circ$) değerinden referans açıyı çıkarmamız gerekir. Yani, $x_2 = \pi - \frac{\pi}{6}$ işlemini yapmalıyız.
- Bu işlemi gerçekleştirelim: $x_2 = \frac{6\pi}{6} - \frac{\pi}{6} = \frac{5\pi}{6}$.
- Bulduğumuz bu ikinci çözüm olan $x_2 = \frac{5\pi}{6}$ de $[0, 2\pi]$ aralığındadır. ($0 \le \frac{5\pi}{6} \le 2\pi$ koşulunu sağlar.)
- Eğer $2\pi$ aralığının dışına çıkan başka çözümler olsaydı (örneğin $x + 2k\pi$ formunda), onları da kontrol etmemiz gerekirdi. Ancak bu aralıkta sadece bu iki temel çözüm bulunmaktadır.
- Bu durumda, denklemin $[0, 2\pi]$ aralığındaki çözüm kümesi $\left\{\frac{\pi}{6}, \frac{5\pi}{6}\right\}$ olarak bulunur.
Seçeneklere baktığımızda, bu çözüm kümesinin A seçeneğinde verildiğini görüyoruz.
Cevap A seçeneğidir.
