5. sınıf Matematik 1. Dönem 2. Yazılı 2. Senaryo Test 1

Merkezleri $M_1$ ve $M_2$ olan iki çember, $A$ ve $B$ noktalarında kesişmektedir. $M_1$, $M_2$ ve $A$ noktaları birleştirilerek bir üçgen oluşturulduğunda, bu üçgenin kenarları hakkında aşağıdakilerden hangisi kesinlikle doğrudur?

A) $M_1A$ ve $M_1M_2$ kenarları eşittir.
B) $M_1A$ ve $M_2A$ kenarları eşittir.
C) $M_1A$ ve $M_1B$ kenarları eşittir.
D) $M_1M_2$ ve $M_2A$ kenarları eşittir.

Merhaba sevgili öğrenciler!

Bu soruda, kesişen iki çemberin ve bu çemberlerin merkezleri ile kesişim noktalarından biriyle oluşturulan bir üçgenin kenarları arasındaki ilişkiyi inceleyeceğiz. Geometri problemlerini çözerken, temel tanımları ve özellikleri hatırlamak bize çok yardımcı olur.

• Adım 1: Çemberin Temel Tanımını Hatırlayalım

  Bir çember, merkez adı verilen sabit bir noktadan eşit uzaklıktaki tüm noktaların kümesidir. Bu eşit uzaklığa yarıçap denir.

• Adım 2: İlk Çemberi İnceleyelim

  Soruda bize merkezleri $M_1$ ve $M_2$ olan iki çember verildiği söyleniyor. İlk çemberin merkezi $M_1$ olsun.

• Adım 3: Kesişim Noktalarını Belirleyelim

  Bu iki çemberin $A$ ve $B$ noktalarında kesiştiği belirtilmiştir. Bu ne anlama gelir? Bu, $A$ noktasının hem $M_1$ merkezli çemberin üzerinde hem de $M_2$ merkezli çemberin üzerinde olduğu anlamına gelir. Aynı şekilde, $B$ noktası da hem $M_1$ merkezli çemberin üzerinde hem de $M_2$ merkezli çemberin üzerindedir.

• Adım 4: $M_1$ Merkezli Çember İçin Yarıçapları Düşünelim

  Madem ki $A$ noktası $M_1$ merkezli çemberin üzerindedir, o zaman $M_1$ noktasından $A$ noktasına olan uzaklık, bu çemberin yarıçapıdır. Yani, $M_1A$ bu çemberin yarıçapıdır.

  Aynı şekilde, $B$ noktası da $M_1$ merkezli çemberin üzerindedir. O zaman $M_1$ noktasından $B$ noktasına olan uzaklık da bu çemberin yarıçapıdır. Yani, $M_1B$ de bu çemberin yarıçapıdır.

• Adım 5: Kesinlikle Doğru Olan İlişkiyi Bulalım

  Bir çemberin tüm yarıçapları birbirine eşit olduğuna göre, $M_1A$ ve $M_1B$ uzunlukları birbirine kesinlikle eşit olmalıdır. Çünkü her ikisi de $M_1$ merkezli çemberin yarıçaplarıdır.

  Şimdi seçenekleri inceleyelim:

  • A) $M_1A$ ve $M_1M_2$ kenarları eşittir. Bu, $M_2$ noktasının $M_1$ merkezli çemberin üzerinde olması durumunda doğru olurdu, ki bu her zaman geçerli değildir.
  • B) $M_1A$ ve $M_2A$ kenarları eşittir. Bu, iki çemberin yarıçaplarının eşit olması durumunda doğru olurdu ($M_1A$ birinci çemberin yarıçapı, $M_2A$ ikinci çemberin yarıçapı). Bu da her zaman geçerli değildir.
  • C) $M_1A$ ve $M_1B$ kenarları eşittir. Yukarıda açıkladığımız gibi, $A$ ve $B$ noktaları $M_1$ merkezli çemberin üzerinde olduğu için, $M_1A$ ve $M_1B$ bu çemberin yarıçaplarıdır ve dolayısıyla birbirine eşittir. Bu ifade kesinlikle doğrudur.
  • D) $M_1M_2$ ve $M_2A$ kenarları eşittir. Bu, $M_1$ noktasının $M_2$ merkezli çemberin üzerinde olması durumunda doğru olurdu, ki bu da her zaman geçerli değildir.

Bu durumda, $M_1$ merkezli çemberin yarıçapları olan $M_1A$ ve $M_1B$ uzunlukları birbirine kesinlikle eşittir.

Cevap C seçeneğidir.