Merhaba sevgili öğrenciler!
Bu problem, farklı nesneler arasından belirli sayıda nesneyi seçme durumlarını incelediğimiz kombinasyon konusuna harika bir örnektir. Kombinasyon, seçimin sırasının önemli olmadığı durumlarda kullanılır. Yani, "çikolata A, sonra çikolata B" seçmek ile "çikolata B, sonra çikolata A" seçmek aynı sonucu verir.
Bir $n$ elemanlı kümeden $k$ eleman seçme kombinasyon formülü şu şekildedir:
$C(n, k) = \binom{n}{k} = \frac{n!}{k!(n-k)!}$
Şimdi problemi adım adım çözelim:
- Adım 1: Çikolata Seçimlerini Hesaplama
- Elimizde 6 farklı çikolata var ve bunlardan 3 tanesini seçmek istiyoruz. Burada sıra önemli olmadığı için kombinasyon kullanacağız.
- $n=6$ (toplam çikolata sayısı) ve $k=3$ (seçilecek çikolata sayısı).
- Formülü uygulayalım: $C(6, 3) = \frac{6!}{3!(6-3)!} = \frac{6!}{3!3!}$
- Faktöriyelleri açalım: $6! = 6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 720$
- $3! = 3 \times 2 \times 1 = 6$
- Hesaplamayı yapalım: $C(6, 3) = \frac{720}{(6)(6)} = \frac{720}{36} = 20$
- Yani, 6 farklı çikolata arasından 3 çikolatayı 20 farklı şekilde seçebiliriz.
- Adım 2: Şeker Seçimlerini Hesaplama
- Elimizde 4 farklı şeker var ve bunlardan 2 tanesini seçmek istiyoruz. Yine sıra önemli olmadığı için kombinasyon kullanacağız.
- $n=4$ (toplam şeker sayısı) ve $k=2$ (seçilecek şeker sayısı).
- Formülü uygulayalım: $C(4, 2) = \frac{4!}{2!(4-2)!} = \frac{4!}{2!2!}$
- Faktöriyelleri açalım: $4! = 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 24$
- $2! = 2 \times 1 = 2$
- Hesaplamayı yapalım: $C(4, 2) = \frac{24}{(2)(2)} = \frac{24}{4} = 6$
- Yani, 4 farklı şeker arasından 2 şekeri 6 farklı şekilde seçebiliriz.
- Adım 3: Toplam Seçim Sayısını Hesaplama
- Bir kişi hem 3 çikolata VE 2 şeker almak istediği için, çikolata seçimlerinin sayısı ile şeker seçimlerinin sayısını çarpmamız gerekir. Bu, "çarpma kuralı" olarak bilinir.
- Toplam farklı seçim sayısı = (Çikolata seçimlerinin sayısı) $\times$ (Şeker seçimlerinin sayısı)
- Toplam farklı seçim sayısı = $20 \times 6 = 120$
- Bu durumda, bir kişi 3 çikolata ve 2 şekeri 120 farklı şekilde seçebilir.
Cevap C seçeneğidir.
