10. sınıf matematik 1. dönem 2. yazılı 2. senaryo test 2

$180$ sayısının kaç tane pozitif tam sayı böleni vardır?

A) 12
B) 15
C) 18
D) 20
E) 24

Bir sayının pozitif tam sayı bölenlerinin sayısını bulmak için aşağıdaki adımları takip ederiz:

• Adım 1: Sayıyı asal çarpanlarına ayırın.

  Verilen sayı $180$'dir. $180$ sayısını asal çarpanlarına ayırırken, en küçük asal sayıdan başlayarak bölme işlemi yaparız:

  $180 \div 2 = 90$

  $90 \div 2 = 45$

  $45 \div 3 = 15$

  $15 \div 3 = 5$

  $5 \div 5 = 1$

  Bu durumda $180$ sayısının asal çarpanlarına ayrılmış hali $2 \times 2 \times 3 \times 3 \times 5$ şeklindedir. Üslü ifade olarak yazarsak:

  $180 = 2^2 \times 3^2 \times 5^1$

• Adım 2: Asal çarpanların üslerini belirleyin.

  Asal çarpanlara ayırdığımızda elde ettiğimiz her bir asal sayının üssü (kuvveti) şunlardır:

  $2$ asalının üssü $2$

  $3$ asalının üssü $2$

  $5$ asalının üssü $1$

• Adım 3: Her bir üsse $1$ ekleyip elde edilen sayıları çarpın.

  Bir sayının pozitif tam sayı bölenlerinin sayısını bulmak için, asal çarpanlara ayrılmış halindeki her bir asalın üssüne $1$ ekleyip bu sonuçları çarparız. Genel formül olarak, eğer bir sayı $N = p_1^{a_1} \cdot p_2^{a_2} \cdot \ldots \cdot p_k^{a_k}$ şeklinde asal çarpanlarına ayrılmışsa, pozitif bölen sayısı $(a_1+1)(a_2+1)\ldots(a_k+1)$ olur.

  Bu kuralı $180$ sayısı için uygulayalım:

  Üsler $2$, $2$ ve $1$'dir.

  Pozitif bölen sayısı = $(2+1) \times (2+1) \times (1+1)$

  Pozitif bölen sayısı = $3 \times 3 \times 2$

  Pozitif bölen sayısı = $18$

Yani $180$ sayısının $18$ tane pozitif tam sayı böleni vardır.

Cevap C seçeneğidir.