Gerçek sayılarda tanımlı bir $f(x)$ fonksiyonunun grafiği, $x$ eksenini $(-2,0)$, $(1,0)$ ve $(4,0)$ noktalarında kesmektedir. $y$ eksenini $(0,3)$ noktasında kesmektedir. Fonksiyonun yerel maksimum noktası $(2,5)$ ve yerel minimum noktası $(-1,-3)$'tür.
Bu bilgilere göre aşağıdakilerden hangisi **yanlıştır**?
A) $f(0) = 3$
B) $f(x)=0$ denkleminin $3$ farklı gerçek kökü vardır.
C) Fonksiyonun en büyük değeri $5$'tir.
D) $x \in (-1, 2)$ aralığında fonksiyon artandır.
E) $f(-2) \cdot f(4) = 0$
Merhaba sevgili öğrenciler!
Bu soruda, bir $f(x)$ fonksiyonunun grafiği hakkında verilen bilgilerden yola çıkarak hangi ifadenin yanlış olduğunu bulmamız isteniyor. Adım adım her seçeneği inceleyelim:
- Verilen Bilgileri Anlayalım:
- $x$ eksenini kesen noktalar: $(-2,0)$, $(1,0)$ ve $(4,0)$. Bu, $f(-2)=0$, $f(1)=0$ ve $f(4)=0$ demektir. Bu noktalar fonksiyonun kökleridir.
- $y$ eksenini kesen nokta: $(0,3)$. Bu, $f(0)=3$ demektir.
- Yerel maksimum noktası: $(2,5)$. Bu, $f(2)=5$ ve bu noktada fonksiyonun artmaktan azalmaya geçtiği anlamına gelir.
- Yerel minimum noktası: $(-1,-3)$. Bu, $f(-1)=-3$ ve bu noktada fonksiyonun azalmaktan artmaya geçtiği anlamına gelir.
- A) $f(0) = 3$
- Soruda açıkça belirtilmiştir ki fonksiyon $y$ eksenini $(0,3)$ noktasında kesmektedir. Bir fonksiyonun $y$ eksenini kestiği nokta $(0, f(0))$ şeklinde ifade edilir.
- Dolayısıyla, $f(0) = 3$ ifadesi doğrudur.
- B) $f(x)=0$ denkleminin $3$ farklı gerçek kökü vardır.
- $f(x)=0$ denkleminin kökleri, fonksiyonun $x$ eksenini kestiği noktalardır.
- Soruda $x$ eksenini $(-2,0)$, $(1,0)$ ve $(4,0)$ noktalarında kestiği belirtilmiştir. Bu da $x=-2$, $x=1$ ve $x=4$ olmak üzere $3$ farklı gerçek kök olduğu anlamına gelir.
- Bu ifade doğrudur.
- C) Fonksiyonun en büyük değeri $5$'tir.
- Soruda $(2,5)$ noktasının bir yerel maksimum noktası olduğu belirtilmiştir. Yerel maksimum, fonksiyonun belirli bir aralıkta aldığı en büyük değerdir.
- Ancak, bir fonksiyonun yerel maksimum değeri, o fonksiyonun tanımlı olduğu tüm gerçek sayılar kümesindeki (global) en büyük değeri olmak zorunda değildir. Fonksiyonun grafiği, yerel maksimumdan sonra tekrar yükselerek $5$'ten daha büyük değerler alabilir veya $x \to -\infty$ ya da $x \to \infty$ durumlarında daha büyük değerlere ulaşabilir.
- Örneğin, $x=4$ noktasından sonra fonksiyon tekrar yukarı doğru sonsuza gidebilir. Verilen bilgiler sadece bu iki dönüm noktasını (yerel ekstremumları) ve üç kökü belirtir. Fonksiyonun genel davranışını (örneğin, bir polinomun derecesini) bilmediğimiz için, $5$'in fonksiyonun alabileceği en büyük değer olduğunu kesin olarak söyleyemeyiz.
- Bu ifade yanlıştır.
- D) $x \in (-1, 2)$ aralığında fonksiyon artandır.
- Fonksiyonun yerel minimum noktası $(-1,-3)$ ve yerel maksimum noktası $(2,5)$ olarak verilmiştir.
- Bir fonksiyon, yerel minimum noktasından yerel maksimum noktasına kadar olan aralıkta artan bir davranış sergiler. Yani, $x=-1$ noktasından $x=2$ noktasına kadar fonksiyonun değeri $-3$'ten $5$'e yükselir.
- Dolayısıyla, $x \in (-1, 2)$ aralığında fonksiyon artandır ifadesi doğrudur.
- E) $f(-2) \cdot f(4) = 0$
- Soruda fonksiyonun $x$ eksenini $(-2,0)$ ve $(4,0)$ noktalarında kestiği belirtilmiştir.
- Bu, $f(-2)=0$ ve $f(4)=0$ demektir.
- Bu değerleri çarptığımızda $f(-2) \cdot f(4) = 0 \cdot 0 = 0$ sonucunu elde ederiz.
- Bu ifade doğrudur.
Yukarıdaki analizler sonucunda, yanlış olan ifadenin C seçeneği olduğu anlaşılmaktadır.
Cevap C seçeneğidir.
