10. sınıf matematik 1. dönem 2. yazılı 2. senaryo test 3

Bir $ABC$ üçgeninde $|AB|=6$ cm, $|AC|=4$ cm ve $m(\widehat{BAC})=60^\circ$ olduğuna göre, $|BC|$ uzunluğu kaç cm'dir?

A) $\sqrt{18}$
B) $\sqrt{20}$
C) $\sqrt{24}$
D) $\sqrt{28}$
E) $\sqrt{32}$

Bu soruda, bir üçgenin iki kenar uzunluğu ve bu kenarlar arasındaki açısı verildiğinde üçüncü kenar uzunluğunu bulmamız isteniyor. Bu tür durumlarda Kosinüs Teoremi'ni kullanırız.

• 1. Adım: Verilen Bilgileri Yazalım
• Üçgenin kenar uzunlukları: $|AB|=c=6$ cm ve $|AC|=b=4$ cm.
• Bu iki kenar arasındaki açı: $m(\widehat{BAC})=A=60^\circ$.
• Bizden istenen kenar uzunluğu: $|BC|=a$.
• 2. Adım: Kosinüs Teoremi'ni Hatırlayalım
• Kosinüs Teoremi, bir üçgende bir kenarın karesinin, diğer iki kenarın kareleri toplamından, bu iki kenarın çarpımının iki katı ile aralarındaki açının kosinüsünün çarpımının çıkarılmasıyla bulunduğunu ifade eder. Formülü şu şekildedir:
• $a^2 = b^2 + c^2 - 2bc \cos(A)$
• 3. Adım: Bilgileri Formülde Yerine Koyalım
• Verilen değerleri Kosinüs Teoremi formülüne yerleştirelim:
• $a^2 = (4)^2 + (6)^2 - 2 \cdot (4) \cdot (6) \cdot \cos(60^\circ)$
• 4. Adım: Hesaplamaları Yapalım
• Öncelikle $\cos(60^\circ)$ değerini bulalım. Bildiğimiz gibi $\cos(60^\circ) = \frac{1}{2}$'dir.
• Şimdi denklemi adım adım çözelim:
• $a^2 = 16 + 36 - 2 \cdot 4 \cdot 6 \cdot \frac{1}{2}$
• $a^2 = 52 - 48 \cdot \frac{1}{2}$
• $a^2 = 52 - 24$
• $a^2 = 28$
• 5. Adım: $|BC|$ Uzunluğunu Bulalım
• $a^2 = 28$ olduğuna göre, $a$ değerini bulmak için her iki tarafın karekökünü alırız:
• $a = \sqrt{28}$
• $\sqrt{28}$ ifadesini sadeleştirebiliriz. $28 = 4 \cdot 7$ olduğu için:
• $a = \sqrt{4 \cdot 7} = \sqrt{4} \cdot \sqrt{7} = 2\sqrt{7}$ cm.
• Şıklara baktığımızda $\sqrt{28}$ veya $2\sqrt{7}$ şeklinde bir ifade arıyoruz. Seçeneklerde $\sqrt{28}$ bulunmaktadır.

Cevap D seçeneğidir.