10. sınıf matematik 1. dönem 2. yazılı 2. senaryo test 3

Bir üniversitede öğrencilerin bölüm tercihleri (Mühendislik, Tıp, Hukuk) ve mezuniyet sonrası iş bulma süreleri (6 aydan kısa, 6-12 ay, 12 aydan uzun) arasındaki ilişkiyi incelemek için bir araştırma yapılmıştır. Araştırma sonuçlarına göre: * Mühendislik bölümü mezunlarının %70'i 6 aydan kısa sürede iş bulmuştur. * Tıp bölümü mezunlarının %80'i 6 aydan kısa sürede iş bulmuştur. * Hukuk bölümü mezunlarının %40'ı 6 aydan kısa sürede iş bulmuştur. * Üniversitedeki tüm mezunların %40'ı Mühendislik, %30'u Tıp, %30'u Hukuk bölümündendir. Rastgele seçilen bir mezunun 6 aydan kısa sürede iş bulduğu bilindiğine göre, bu mezunun Tıp bölümü mezunu olma olasılığı kaçtır?

A) $\frac{3}{8}$
B) $\frac{2}{5}$
C) $\frac{1}{3}$
D) $\frac{5}{12}$
E) $\frac{1}{2}$

Sevgili öğrenciler, bu problemde koşullu olasılık kavramını ve Bayes Teoremi'ni kullanarak bir olayın gerçekleştiği bilindiğinde başka bir olayın gerçekleşme olasılığını bulacağız. Adım adım ilerleyelim:

• 1. Olayları Tanımlayalım:

  Öncelikle, problemdeki olayları ve bunlara karşılık gelen olasılıkları daha kolay ifade edebilmek için sembollerle gösterelim:

  • $M$: Mezunun Mühendislik bölümünden olması.
  • $T$: Mezunun Tıp bölümünden olması.
  • $H$: Mezunun Hukuk bölümünden olması.
  • $K$: Mezunun 6 aydan kısa sürede iş bulması.
• 2. Verilen Olasılıkları Not Edelim:

  Soruda bize verilen bilgileri olasılık notasyonu ile yazalım:

  • Mühendislik mezunlarının %70'i 6 aydan kısa sürede iş bulmuştur: $P(K|M) = 0.70$
  • Tıp mezunlarının %80'i 6 aydan kısa sürede iş bulmuştur: $P(K|T) = 0.80$
  • Hukuk mezunlarının %40'ı 6 aydan kısa sürede iş bulmuştur: $P(K|H) = 0.40$
  • Üniversitedeki tüm mezunların %40'ı Mühendislik bölümündendir: $P(M) = 0.40$
  • Üniversitedeki tüm mezunların %30'u Tıp bölümündendir: $P(T) = 0.30$
  • Üniversitedeki tüm mezunların %30'u Hukuk bölümündendir: $P(H) = 0.30$
• 3. Tüm Mezunlar Arasında 6 Aydan Kısa Sürede İş Bulanların Genel Olasılığını ($P(K)$) Hesaplayalım:

  Rastgele seçilen bir mezunun 6 aydan kısa sürede iş bulma olasılığını bulmak için Toplam Olasılık Teoremi'ni kullanırız. Bu, farklı bölümlerden gelen mezunların iş bulma olasılıklarının, kendi bölümlerinin genel mezun sayısındaki oranlarıyla ağırlıklı ortalamasını almaktır:

  $P(K) = P(K|M) \cdot P(M) + P(K|T) \cdot P(T) + P(K|H) \cdot P(H)$

  Şimdi değerleri yerine koyalım:

  $P(K) = (0.70)(0.40) + (0.80)(0.30) + (0.40)(0.30)$

  $P(K) = 0.28 + 0.24 + 0.12$

  $P(K) = 0.64$

  Yani, üniversiteden mezun olan herhangi bir öğrencinin 6 aydan kısa sürede iş bulma olasılığı %64'tür.

• 4. 6 Aydan Kısa Sürede İş Bulan Bir Mezunun Tıp Bölümü Mezunu Olma Olasılığını ($P(T|K)$) Hesaplayalım:

  Sorunun bizden istediği, "Rastgele seçilen bir mezunun 6 aydan kısa sürede iş bulduğu bilindiğine göre, bu mezunun Tıp bölümü mezunu olma olasılığı kaçtır?" ifadesidir. Bu bir koşullu olasılık problemidir ve Bayes Teoremi ile çözülür:

  $P(T|K) = \frac{P(K|T) \cdot P(T)}{P(K)}$

  Şimdi bulduğumuz ve verilen değerleri formülde yerine yazalım:

  $P(T|K) = \frac{(0.80)(0.30)}{0.64}$

  $P(T|K) = \frac{0.24}{0.64}$

• 5. Sonucu Sadeleştirelim:

  Elde ettiğimiz ondalık kesri daha basit bir kesir haline getirelim:

  $P(T|K) = \frac{0.24}{0.64} = \frac{24}{64}$

  Hem payı hem de paydayı 8 ile bölebiliriz:

  $P(T|K) = \frac{24 \div 8}{64 \div 8} = \frac{3}{8}$

  Buna göre, 6 aydan kısa sürede iş bulduğu bilinen bir mezunun Tıp bölümü mezunu olma olasılığı $\frac{3}{8}$'dir.

Cevap A seçeneğidir.