Bu problemde, dikdörtgen şeklindeki bir tarlanın etrafına eşit aralıklarla fidan dikeceğiz ve fidan sayısını en az tutmak istiyoruz. Fidan sayısını en az tutmak demek, iki fidan arasındaki mesafeyi en fazla tutmak demektir. Hadi bu problemi adım adım çözelim:
- Problemi Anlama: Dikdörtgen tarlamızın kenar uzunlukları $60$ cm ve $84$ cm'dir. Fidanlar tarlanın etrafına ve köşelerine de gelecek şekilde, eşit aralıklarla dikilecektir. Amacımız, en az sayıda fidan dikmek için iki fidan arası mesafeyi en fazla kaç cm yapabileceğimizi bulmaktır.
- Matematiksel İlişkiyi Kurma: Fidanlar eşit aralıklarla dikileceği için, bu aralık hem $60$ cm'lik kenarı hem de $84$ cm'lik kenarı tam bölmelidir. Yani, fidanlar arası mesafe, $60$ ve $84$ sayılarının ortak bir böleni olmalıdır. Fidan sayısının en az olması için, bu ortak bölenin en büyük değeri alması gerekir. Matematikte bu kavrama "En Büyük Ortak Bölen" (EBOB) denir.
- EBOB'u Bulma: Şimdi $60$ ve $84$ sayılarının EBOB'unu bulalım. Bunun için asal çarpanlara ayırma yöntemini kullanabiliriz:
- $60$ sayısının asal çarpanlarına ayrılmış hali: $60 = 2 \times 2 \times 3 \times 5 = 2^2 \times 3 \times 5$.
- $84$ sayısının asal çarpanlarına ayrılmış hali: $84 = 2 \times 2 \times 3 \times 7 = 2^2 \times 3 \times 7$.
- Ortak Asal Çarpanları Belirleme: Her iki sayının ortak asal çarpanları $2^2$ ve $3$'tür. EBOB'u bulmak için bu ortak asal çarpanları en küçük üsleriyle çarparız.
- EBOB Değerini Hesaplama: EBOB($60$, $84$) $= 2^2 \times 3 = 4 \times 3 = 12$.
- Sonucu Yorumlama: Bulduğumuz EBOB değeri olan $12$ cm, iki fidan arası mesafenin en fazla olabileceği değeri gösterir. Bu durumda, tarlanın etrafına en az sayıda fidan dikilmiş olur.
Cevap B seçeneğidir.
